Círculo incrustado nulo-homotópico en disco de límites de superficie

Question

Lo siguiente se afirma por todas partes, por ejemplo en Hatcher's Notes on 3-Manifold Topology: Un círculo incrustado nulo-homotópico en una superficie limita un disco en la superficie. No consigo encontrar ni encontrar una prueba de esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $S$ sea la superficie, que se supone conectada. Sea $\gamma \subset S$ sea el círculo incrustado nulo-homotópico. Debemos encontrar un disco incrustado en $S$ con límite $\gamma$ .

Si $S$ es la esfera o el plano, esto es sólo el Teorema de Schönflies .

En caso contrario, considere un mapa de cobertura universal $f : X \to S$ y que $\tilde\gamma \subset X$ sea una elevación homeomórfica de $\gamma$ . A partir de la clasificación de las superficies vemos que $X$ es la esfera o el plano, y así $\tilde\gamma = \partial D$ para algún disco incrustado $D \subset X$ . Ahora se trata de demostrar que la restricción $f \mid D : D \to S$ es inyectiva, y entonces se deduce que $f(D)$ es un disco incrustado con $\partial(f(D)) = \gamma$ .

Consideremos la acción de transformación de la cubierta de $\pi_1 S$ en $X$ . Para demostrar que $f \mid D$ es inyectiva, es equivalente demostrar que para cada transformación de mazo $T$ Si $T$ no es la identidad entonces $D \cap (T\cdot D) = \emptyset$ .

Supongamos que $D \cap (T\cdot D) \ne \emptyset$ . Hay dos casos.

En el primer caso, supongamos que $\partial D \cap (T \cdot \partial D) = \emptyset$ . El teorema de Schönflies nos dice que $D$ es uno de los dos componentes de $X - \partial D = X - \tilde\gamma$ , y de forma similar $T \cdot D$ es uno de los dos componentes de $X - \partial (T \cdot D) = X - (T \cdot \tilde\gamma)$ . De ello se desprende que, o bien $D \subset T \cdot D$ o $T \cdot D \subset D$ . En cualquier caso, el teorema del punto fijo de Brouwer implica que $T$ tiene un punto fijo. Dado que $T$ es una transformación de cubierta, se deduce que $T$ es la identidad.

En el segundo caso, supongamos que $\partial D \cap (T \cdot \partial D) \ne \emptyset$ y, por lo tanto, para algunos $x,y \in \partial D = \tilde\gamma$ tenemos $T \cdot x = y$ . Si $x=y$ entonces $T$ es la identidad, como en el caso anterior. Si $x \ne y$ entonces tenemos $f(x)=f(y)$ y así $f \mid \tilde\gamma$ no es inyectiva, contradiciendo que $\tilde\gamma$ es una elevación homeomórfica de $\gamma$ .