Desacoplamiento de ecuaciones diferenciales acopladas con coeficientes dependientes del tiempo

Question

Consideremos el siguiente sistema de ecuación diferencial acoplada.

$$\left[ \begin{array}{c} \frac{dc_1}{dt} \\ \frac{dc_2}{dt} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} -B & -V(t) \\ -V(t) & B \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \end{array} \right]$$

He intentado diagonalizar la matriz utilizando los vectores propios de la matriz de coeficientes. Pero, como la matriz depende del tiempo, también lo hacen sus vectores propios. Entonces, ¿cómo se puede desacoplar este sistema?

Answer 1

No se puede. Como dices, los vectores propios de esta matriz dependen del tiempo, por lo que no sirve hacer combinaciones lineales de $c_1$ y $c_2$ utilizando estos vectores propios, porque la derivada temporal introducirá términos adicionales por la regla del producto.

Lo que puedes hacer, es tratar de escribir $c_1(t) = \alpha(t) x(t)$ y $c_2(t) = \beta(t) y(t)$ y tratar de elegir $\alpha(t)$ y $\beta(t)$ de manera que el sistema se simplifique. Resulta que si se elige $\alpha(t) = e^{-B t}$ y $\beta(t) = e^{B t}$ se obtiene \begin{equation} \begin{pmatrix} \frac{\text{d} x}{\text{d} t} \\ \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -e^{2 B t} V(t) \\ - e^{-2 B t} V(t) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} . \fin{s} de la ecuación Esto equivale a la EDO de segundo orden \begin{equation} \frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} - \left(2 B + \frac{V'(t)}{V(t)}\right)\frac{\text{d} x}{\text{d} t} - V(t)^2 x = 0, \end{equation} que es de tipo Sturm-Liouville. Para el general $V(t)$ Sólo existen resultados generales para las soluciones de dichas ecuaciones (véase, por ejemplo, Titchmarsh, Expansiones de funciones propias ). Si $V(t)$ es periódica en el tiempo, sin embargo, se puede invocar Teoría de Floquet .