La pregunta
Dado un tensor de energía-momento, $T_{zz}[g]$ en una CFT general con carga central, $c$ definido con respecto a una métrica, $g$ y las coordenadas del marco conformado, $z$ , $$ T_{zz}[g]\quad \textrm{wrt}\quad g=\rho(z,\bar{z})dz d\bar{z},\tag{1}\label{Tg} $$ ¿Cómo es que $T_{zz}[g]$ cambio bajo una Transformación de Weyl, $g\rightarrow g'$ manteniendo las coordenadas del marco, $z$ , fijo es decir, lo que es $T_{zz}[g']$ , $$ T_{zz}[g']\quad \textrm{wrt}\quad g'= e^{\delta\phi(z,\bar{z})}\rho(z,\bar{z})dz d\bar{z}.\tag{2}\label{Tg'} $$ El OP pregunta sobre el caso $\rho(z,\bar{z})=1$ pero voy a discutir el caso más general (ya que requiere sólo una pequeña cantidad de esfuerzo adicional) y requerir (para la derivación) que $\rho(z,\bar{z})=1$ sólo en un punto específico, digamos $z=z_1$ . En particular, siempre es posible elegir $\rho$ tal que en un punto $z=z_1$ : $$ \rho(z_1,\bar{z}_1)=1,\quad {\rm and}\quad \partial_z^n\rho(z_1,\bar{z}_1)=0,\quad n>0 \tag{3}\label{HNC} $$ que incluye el caso de interés (donde $\rho$ es $z$ -independiente e igual a 1 en todas partes), pero tiene la ventaja de que no hemos hecho ninguna suposición sobre la curvatura escalar subyacente $^*$ , $R_{(2)}$ . Por la covarianza de la respuesta final se deduce que el resultado es válido para una métrica conforme inicial arbitraria $g$ (y por un famoso teorema, por lo tanto, también una métrica arbitraria, no necesariamente conforme).
Una observación
Para calcular $T_{zz}[g']$ en términos de $T_{zz}[g]$ nota principalmente que clásicamente (ya que estamos considerando una CFT) en un gráfico dado el tensor energía-momento es independiente $^{**}$ de $\rho$ y por lo tanto también de $\delta\phi$ . Por lo tanto, cualquier distinción entre $T_{zz}[g]$ y $T_{zz}[g']$ debe ser de naturaleza cuántica. Esto significa que debería ser posible reformular la distinción entre $T_{zz}[g]$ y $T_{zz}[g']$ como un cambio en el orden normal manteniendo las coordenadas del marco, $z$ y el componente métrico, $\rho$ , fijo . Esto se debe a que la única distinción entre los tensores de energía-momento clásicos y cuánticos es que este último es normal ordenado $^{***}$ para restar los infinitos que surgen de las autocontracciones y hacerla bien definida. $^{\&}$
Hacemos explícita la ordenación normal en la notación como sigue: $$ \begin{aligned} T_{zz}[g]\, = \,\, :\!T^{(z)}(z_1)\!:_{z}\quad{\rm and}\quad T_{zz}[g']\, = \,\, :\!T^{(z)}(z_1)\!:_{w} \end{aligned}\tag{4}\label{notation} $$
- El subíndices , $z$ y $w$ en $:(\dots):_{z}$ y $:(\dots):_{w}$ etiquetan respectivamente la prescripción de ordenación normal que (como se comenta en la nota a pie de página $^{***}$ ) lo identificamos con el ordenamiento normal de Weyl (WNO).
- El superíndice , $z$ , en $T^{(z)}(z_1)$ etiqueta la coordenada del marco holomórfico (que mantenemos fija bajo $g\rightarrow g'$ ).
- El argumento , $z_1$ , en $T^{(z)}(z_1)$ etiqueta el valor de la coordenada del marco holomórfico, $z$ en el que se inserta el operador.
- La segunda relación en ( \ref {notación}) sólo es coherente con la primera cuando $w$ está relacionado con $z$ de una manera muy especial (que se deriva en (A) abajo).
Una respuesta
Aprovecharemos estas observaciones para responder a la pregunta. La respuesta constará de dos pasos, (A) y (B) .
(A) Un cambio holomórfico de marco inducido por las transformaciones de Weyl
El primer paso hacia la informática $T_{zz}[g']$ en términos de $T_{zz}[g]$ es buscar una nueva coordenada del marco conformacional, $w$ , de tal manera que $g'=\rho(w,\bar{w})dw d\bar{w}$ que según ( \ref {Tg'}) implica que en un punto genérico, $z$ (a diferencia de $z=z_1$ ) en la superficie de Riemann: $$ e^{\delta\phi(z,\bar{z})}\rho(z,\bar{z})dz d\bar{z} = \rho(w,\bar{w})dw d\bar{w}\tag{5}\label{wz} $$ Como queremos mantener el componente $\rho$ fijado bajo $g\rightarrow g'$ es útil dejar que $\rho$ tienen las mismas formas funcionales en los lados izquierdo y derecho de ( \ref {wz}). Dado que queremos identificar ambos $z$ y $w$ con holomorfo coordenadas del marco, debería ser posible expresar $w$ como una función holomórfica de $z$ . Construiremos este $w(z)$ por la serie Taylor. Trabajar de forma infinitesimal es lo más fácil, así que definimos una pequeña variación $\delta z(z)$ , $$ w(z) = z+\delta z(z),\tag{6}\label{w(z)} $$ en un punto genérico $z$ , con la condición de que $\delta z(z_1)=0$ para que $w(z_1)=z_1$ es fijo (los resultados en el caso más general donde $w(z_1)$ no se especifica se da en una nota a pie de página $^{@}$ ). A continuación, sustituya ( \ref {w(z)}) en ( \ref {wz}), y expandir todos los términos hasta el orden principal en la variación. Esto resulta en la siguiente relación en un punto genérico, $z$ (véase la sección 2.4.4 de la papel largo ): $$ \delta\phi(z,\bar{z}) = \nabla_z\delta z(z)+\nabla_{\bar{z}}\delta\bar{z}(\bar{z})\tag{7}\label{dphi} $$ La cantidad $\nabla_z$ está asociada a una derivada covariante con respecto a $g$ , $\nabla_z\delta z = \partial_z\delta z+\delta z\,\partial_z\ln\rho$ (véase el Apéndice D.2 de la papel largo ). Obsérvese que en $z=z_1$ según ( \ref {HNC}) $\nabla_z\delta z(z_1)= \partial_z\delta z(z_1)$ con relaciones similares para todas las derivadas superiores puramente holomorfas (o puramente antiholomorfas). Teniendo en cuenta esto, calcula la $n^{\rm th}$ (para $n\geq1$ ) derivada covariante de $\delta \phi$ utilizando ( \ref {dphi}), y evaluarlo en $z=z_1$ donde las derivadas covariantes y parciales son intercambiables. Esto nos lleva a: $^{\#}$ $$ \partial_z^{n+1}\delta z(z_1)=\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1),\qquad n\geq1\tag{8}\label{dzdeltazz1} $$ donde tuvimos en cuenta que $\delta z(z_1)=0$ . Desde $w(z)$ es holomorfo en $z$ así es $\delta z(z)$ lo que significa que existe una expansión de Taylor convergente. Eligiendo expandir alrededor de $z=z_1$ según ( \ref {w(z)}), ( \ref {dphi}) y ( \ref {dzdeltazz1}), a la cabeza de la variación, $^{****}$ $$ \boxed{ \begin{aligned} w(z)&=w(z_1)+e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)}\Big(z-z_1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1)(z-z_1)^{n+1}\Big) \end{aligned} }\tag{9}\label{w(z)Taylor} $$ Aviso de ( \ref {w(z)}) que $w(z_1)=z_1$ que asegura el punto $z=z_1$ se fija bajo $z\rightarrow w$ . (Como se ha mencionado, el caso más general en el que $w(z_1)$ no se especifica se da en una nota a pie de página $^{@}$ .) Hay algunos puntos que vale la pena subrayar antes de continuar:
- La cantidad $w(z)$ es holomorfo en $z$ pero es no es holomorfo en $z_1$
- Estamos descuidando una fase potencial inmaterial, $e^{i{\rm Im}\nabla_z\delta z(z_1)}$ (véase la nota a pie de página)
- La relación ( \ref {w(z)Taylor}) genera la cambio de marco holomórfico, $z\rightarrow w(z)$ inducido por una transformación de Weyl, $\rho\rightarrow e^{\delta\phi}\rho$
(B) Cambio en el tensor de energía-momento bajo un cambio holomórfico del ordenamiento normal manteniendo fijas las coordenadas del marco
El cambio en un tensor de energía-momento inducido por un cambio holomórfico en el ordenamiento normal manteniendo fijas las coordenadas del marco se calculó en un entrada anterior (ver la ecuación con recuadro estrellado allí). En las secciones 4.2, 4.3 y 4.4 del informe se ofrecen derivaciones más generales y detalladas. papel largo . Allí se dan las derivaciones de la siguiente ecuación $^{*****}$ . El resultado para una CFT general con carga central $c$ y para un cambio holomórfico arbitrario en el ordenamiento normal, $z\rightarrow w(z)$ en las coordenadas del marco fijo, z, es: $$ :\!T^{(z)}(z_1)\!:_w\,\,=\,\,:\!T^{(z)}(z_1)\!:_z-\frac{c}{12}\Big[\frac{\partial_{z}^3w}{\partial_{z}w}-\frac{3}{2}\Big(\frac{\partial_{z}^2w}{\partial_{z}w}\Big)^2\Big](z_1)\tag{10}\label{TwTz} $$ Esto es cierto para cualquier holomorfo $w(z)$ para asegurarnos de que estamos calculando el cambio inducido por un Transformación de Weyl , $g\rightarrow g'=e^{\delta\phi}g$ necesitamos la elección específica ( \ref {w(z)Taylor}) según el cual, $$ \begin{aligned} \partial_zw(z_1)&=e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)}\\ \partial_z^2w(z_1)&=e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)}\nabla_z\delta\phi(z_1)\\ \partial_z^3w(z_1)&=e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)}\nabla_z^{2}\delta\phi(z_1)\\ \end{aligned} $$ Sustituyendo esto último en ( \ref {TwTz}) y recordando las identificaciones ( \ref {notación}) aprendemos que a la orden principal en la variación: $$ T_{zz}[g']\,=\,T_{zz}[g]-\frac{c}{12}\nabla_z^2\delta\phi(z_1)+\dots\tag{11}\label{TwTz2} $$ donde los puntos denotan términos de orden superior en $\delta\phi$ . El PO formuló la pregunta en términos de $\Omega$ , relacionado con $\delta\phi$ por: $e^{\delta\phi}=\Omega^{-2}$ . En términos de $\Omega$ la relación que hemos pretendido según ( \ref {TwTz2}) en $z=z_1$ (donde $\rho=1$ ) dice: $$ \boxed{\,\,T_{zz}[g']\,=\,T_{zz}[g]+\frac{c}{3!}\nabla_z^2\ln\Omega+c\,\mathcal{O}((\ln\Omega)^2),\quad {\rm when}\quad g'=\Omega^{-2}g\,\,}\tag{12}\label{TwTz3} $$ Es importante destacar que la derivación aquí realizada ha supuesto $\Omega$ se acerca a la identidad, no sé cómo/si el resultado se modifica si los términos de orden superior en $\delta\phi$ se incluyen. Las correcciones previstas son del orden de $(\ln\Omega)^2$ como se indica. Debido a ( \ref {HNC}) también podríamos sustituir la derivada covariante, $\nabla_z^2$ con una derivada parcial, $\partial_z^2$ cuando $z$ corresponde a una coordenada normal holomórfica donde ( \ref {HNC}) se mantiene. Pero como la relación resultante ( \ref {TwTz3}) es covariante y se mantiene en cualquier sistema de coordenadas conformes, por lo que también se mantiene para una componente métrica arbitraria $\rho(z,\bar{z})$ (generalizando más allá de ( \ref {HNC}); y por un famoso teorema también es válido para una métrica arbitraria (no necesariamente conforme, véase, por ejemplo, la sección 2.1.2 del papel largo ). Por supuesto, también es cierto para una curvatura local arbitraria, $R_{(2)}$ . (Para más detalles sobre las coordenadas normales holomorfas, véase la sección 2.4 del papel largo .)
En los comentarios que mencioné me sorprendió un poco el resultado citado por el OP: difiere claramente del resultado que he obtenido aquí porque $(\partial_z^2\Omega)/\Omega$ aparece en lugar de $\partial_z^2\ln\Omega$ . Recordemos, sin embargo, que he asumido $\delta\phi$ es pequeño, no sé cómo serían los términos de orden superior. Además, el factor de $-1/2\pi$ que está ausente en mi derivación se debe presumiblemente a una convención de normalización diferente para el tensor de energía-momento (la mía es consistente con el libro de texto de Polchinski).
$^*$ Recordemos que $R_{(2)} = -4\rho^{-1}\partial_z\partial_{\bar{z}}\log \rho$ y observe que las derivadas mixtas no se ven afectadas por las propiedades especificadas anteriormente ( \ref {HNC}) de $\rho$ en $z_1$ . (Evidentemente, si en lugar de eso $\rho=1$ en un parche finito y no en un punto, entonces debe ser que $R_{(2)}=0$ en ese parche). La prueba de la existencia, que una coordenada $z$ siempre existe tal que ( \ref {HNC}) se satisface se da en la sección 2.4.2 en un papel largo por Luest y Skliros.
$^{**}$ Para un ejemplo concreto de esta afirmación clásica, recuerdo al lector que para la acción de Polyakov, $T_{ab}[g] = -\frac{1}{\alpha'}(\partial_aX\cdot \partial_b X-\frac{1}{2}g_{ab}g^{cd}\partial_cX\cdot \partial_dX)$ (ecuación (1.2.22) en la obra de Polchinski libro de texto ). De ello se desprende que clásicamente $T_{ab}[g]_{\rm classical}=T_{ab}[g']_{\rm classical}$ , lo que sigue siendo cierto para cualquier CFT que tenga un tensor de energía-momento clásico (por definición si se quiere). Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, hay divergencias de las autocontracciones que deben restarse (lo que corresponde a una prescripción de ordenación normal) para tener un tensor de energía-momento local bien definido. Cualquier dependencia de Weyl queda entonces oculta en estos términos de sustracción y esto es lo que deseamos exponer.
$^{***}$ Hay muchas prescripciones de ordenamiento normal (o regularización), como el "ordenamiento normal conforme" (CNO), el "ordenamiento normal de Weyl" (WNO), el "ordenamiento normal geodésico" (GNO), la "regularización dimensional" (DR), etc. La prescripción más sencilla que conozco que no requiere un regulador y, por lo tanto, preserva las útiles propiedades de analiticidad de las CFTs es quizás el CNO (que fue inventó de Polchinski), y en particular la WNO (también inventó de Polchinski) que es equivalente a la CNO pero sujeta a una elección específica de coordenadas conformes, $z$ para lo cual ( \ref {HNC}) se cumple. La CNO y la WNO se revisan y desarrollan de forma pedagógica en el papel largo .
$^{\&}$ Un comentario: es posible que haya infinitos adicionales que deban restarse en las CFT interactivas para que el operador energía-momento esté bien definido como operador compuesto local, pero la derivación de ( \ref {TwTz}) supone que los CFT son libres - el resultado ( \ref {TwTz}) debería esperarse que fuera general, sin embargo, dada la universalidad de la derivada de Schwarz en asociación con las transformaciones holomórficas del tensor energía-momento.
$^{\#}$ Notación: Simplifico un poco la notación por razones de brevedad; se sobreentiende que $\delta\phi(z)\equiv\delta\phi(z,\bar{z})$ y $\delta z(z)\equiv\delta z(z;z_1,\bar{z}_1)$ y por lo tanto $\delta z(z_1)\equiv\delta z(z_1;z_1,\bar{z}_1)$ . Lo mismo ocurre con $w(z)$ En particular $w(z)\equiv w(z;z_1,\bar{z}_1)$ y $w(z_1)\equiv w(z_1;z_1,\bar{z}_1)$ . Lo importante es que $w(z)$ es holomorfo en $z$ pero suave en $z_1,\bar{z}_1$ .
$^{****}$ Los pasos intermedios en la derivación de ( \ref {w(z)Taylor}) son las siguientes. (Sugiero al lector que derive ( \ref {w(z)Taylor}), refiriéndose a lo siguiente sólo si es necesario). Para el orden principal de la variación, según ( \ref {w(z)}), ( \ref {dphi}) y ( \ref {dzdeltazz1}), $$ \begin{aligned} w(z) &=z+\delta z(z)\\ &=z+ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\partial_z^n\delta z(z_1)\,(z-z_1)^n\\ &=z+\delta z(z_1)+\partial_z\delta z(z_1)(z-z_1)+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\partial_z^{n+1}\delta z(z_1)(z-z_1)^{n+1}\\ &=z_1+\delta z(z_1)+(1+\partial_z\delta z(z_1))(z-z_1)+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1)(z-z_1)^{n+1}\\ &=w(z_1)+\Big(1+\frac{1}{2}\big(\nabla_z\delta z(z_1)+\nabla_{\bar{z}}\delta {\bar{z}}({\bar{z}}_1)\big)+\frac{1}{2}\big(\nabla_z\delta z(z_1)-\nabla_{\bar{z}}\delta {\bar{z}}({\bar{z}}_1)\big)\Big)(z-z_1)+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1)(z-z_1)^{n+1}\\ &=w(z_1)+\Big(1+\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)+i{\rm Im}\,\nabla_z\delta z(z_1)\Big)(z-z_1)+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1)(z-z_1)^{n+1}\\ &=w(z_1)+e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)+i{\rm Im}\nabla_z\delta z(z_1)}\Big(z-z_1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\nabla_z^{n}\delta\phi(z_1)(z-z_1)^{n+1}\Big) \end{aligned} $$ La fase no está globalmente bien definida (el obstáculo es el número de Euler potencialmente distinto de cero), pero podemos despreciarla cuando las únicas combinaciones de operadores que aparecen en la integral de la trayectoria son tales que esta fase se anula. Supongo que éste es el caso.
$^{@}$ Si consideramos el caso más general en el que $\delta z(z_1)$ (y su conjugado complejo) no debe desaparecer, entonces ( \ref {w(z)Taylor}) se sustituye por: $$ \begin{aligned} w(z)&=w(z_1)+e^{\frac{1}{2}\delta\phi(z_1)}\Big(z-z_1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}\big(\nabla_z^n\delta\phi+\frac{1}{4}\delta \bar{z}\,\nabla_z^{n-1}\!R_{(2)}\big)(z_1)(z-z_1)^{n+1}\Big) \end{aligned} \tag{13}\label{w(z)Taylorgen} $$ donde (como se indica) todas las cantidades que aparecen entre paréntesis con las derivadas covariantes se evalúan en $z=z_1$ y hay una sustitución similar en ( \ref {TwTz2}), a saber: $$ T_{zz}[g']\,=\,T_{zz}[g]-\frac{c}{12}\big(\nabla_z^2\delta\phi+\frac{1}{4}\delta \bar{z}\,\nabla_zR_{(2)}\big)(z_1)\tag{14}\label{TwTz2gen} $$ donde $w(z_1)$ ahora no está obligado a salir $z_1$ invariante, es decir, la condición $w(z_1)=z_1$ que se asumió en ( \ref {TwTz2}) no se asume en ( \ref {TwTz2gen}).
$^{*****}$ Pido disculpas por la notación ligeramente diferente que estoy utilizando en el presente post en relación con la utilizada allí
Actualización del 5 de enero de 2020: Acabo de darme cuenta de que la versión de espacio plano del resultado ( \ref {TwTz2}) derivado aquí fue derivado en Polchinski vol.1 ver allí la ecuación (3.4.14). La derivación es diferente (se basa más bien en la observación de que la transformación conforme del tensor de energía-momento (3.4.13) consiste en una transformación de coordenadas más una transformación de Weyl, por lo que identificar el bit de la transformación de coordenadas permite leer la parte de Weyl). Es satisfactorio ver que el resultado (3.4.14) es efectivamente equivalente a ( \ref {TwTz2}) en el límite del espacio plano ya que $\delta\omega = \frac{1}{2}\delta\phi$ . Tal vez valga la pena mencionar que existe otra derivación de la hoja del mundo curvada de ( \ref {TwTz2}) que puede considerarse como el análogo en espacio curvo de la derivación en espacio plano de Polchinski que condujo a (3.4.14). (Quizás lo incluya también cuando tenga tiempo o si hay interés).
