Grupo De Número Par Tiene Número impar De Elementos De Orden 2

Question

Esta pregunta se hizo muchas veces en el pasado, sólo quiero estar seguro de que he entendido la respuesta correctamente.

Tomamos un grupo $G$ que tiene un orden par, tomamos todos los elementos de orden mayor que $2$ y los emparejamos con sus inversos (del mismo orden por supuesto) obtenemos un conjunto (puede que no sea un subgrupo) de orden par digamos $A$ entonces $|G|-|A|$ es par, ahora nos quedamos con elementos de orden $1$ que es $e$ y elementos de orden $2$ .

Entonces tenemos $|G|-|A|-\{e\}=2k-1$ entonces el número de elementos de orden $2$ es impar

Answer 1

Su argumento es completamente correcto. Permítame señalar que la prueba es muy parecida a la de un conocido teorema un grupo finito no trivial $G$ de orden de potencia primo tiene un centro no trivial $Z(G)$ . Recordemos que el ingrediente clave de la prueba es la ecuación de clase (o la ecuación de partición ) $$ G = \coprod_{g \in [G/\sim_G]} g^G = 1^G \amalg \left(Z(G) \setminus 1^G\right) \amalg \coprod_{\substack{g \in [G/\sim_G]\\ g \not\in Z(G)}} g^G.$$

Ahora, en su entorno, consideremos un grupo $T = \langle t \rangle$ de orden dos y actúa sobre el grupo $G$ de orden par por $g^t = g^{-1}$ . Entonces tienes $T$ -descomposición de la órbita $$ G = \coprod_{g \in [G/\sim_T]} g^T = 1^T \amalg \left(I(G) \setminus 1^T\right) \amalg \coprod_{\substack{g \in [G/\sim_T]\\ g \not\in I(G)}} g^T, $$ donde $ I(G) = \{\, g \in G \mid g^2 = 1 \,\} $ . Tomando la cardinalidad, obtendrás la conclusión.

Es posible que encuentre otros que encajen en este esquema.