Trivial: Racionalizar la fracción con una raíz de tercer grado

Question

Esta es una pregunta bastante trivial. ¿Cómo se racionaliza una función con un denominador que contiene una raíz de tercer grado?

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Editar : Mi expresión es $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}}$ .

Answer 1

Para racionalizar cuando se tiene un denominador de la forma $a^{1/3}-b^{1/3}$ (como se hace aquí, con $a=2$ y $b=1$ ), utilice la identidad $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ .

Así que $$2-1 = \left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1}\right)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{1}\right) = \left(\sqrt[3]{2} - 1\right)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2} + 1\right).$$ Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por $\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1$ . Lo consigues: $$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} &= \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}\\ &= \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3)}\\ &= \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}+1}{2-1}\\ &= \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1. \end{align*}$$

Si tuvieras un denominador de la forma $a^{1/3}+b^{1/3}$ se puede utilizar la identidad $(x^3+y^3) = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ .