Centralizador, Normalizador y el Estabilizador - intuición

Question

¿Cuál es la motivación del/de la intuición detrás de estos conceptos? ¿Qué noción de la propiedad de un grupo de captura que? O ¿cuál es el escenario de aplicación.

Gracias.

Answer 1

Sólo he estudiado recientemente teoría de grupo, por lo que tomar esto con un grano de sal, pero mi intuición es la siguiente: grupo determinado $G$ y un subconjunto $A \subset G$, el centralizador de $A$ "mide" dentro "del centro de $Z(G)$ el conjunto es" y el normalizador $A$ medidas de "lo normal que el conjunto es". Así que si tenemos $C_G(A) = G$, entonces cada elemento de a $A$ conmutan con todos los elementos de a $G$ y, por tanto,$A \subset Z(G)$. Del mismo modo, si tenemos $N_G(A) = G$, entonces para cualquier $g \in G, gA = Ag$ y, por tanto, $A$ es normal en $G$.

Una aplicación común que he visto en mi (de nuevo, limitada), la exposición se utiliza el hecho de que, para el subgrupo $H \leq G, N_G(H)/C_G(H) \cong$ a un subgrupo de $Aut(H)$ (el grupo de automorfismos de a $H$). A menudo dependiendo de la identidad de $H$, se puede obtener una gran cantidad de información acerca de los posibles subgrupos de la automorphism grupo, y si $H$ es normal en $G$, luego tenemos a $G/C_G(H) \cong$ a un subgrupo de $Aut(H)$, y esto nos dice aún más. Este tipo de enfoque a menudo es útil para demostrar que el $H$ está contenido en $Z(G)$.

En cuanto a que el Estabilizador se conecta a estas cosas, aviso que si dejamos $G$ actuar en $H \leq G$ por conjugación (es decir,$g \cdot H = gHg^{-1}$), a continuación,$Stab(H) = N_G(H)$. Esto termina líder en la Clase de ecuación y útiles otros teoremas.

Esperemos que ayudó en algo?