problema de recuento de la ocupación hotelera

Question

La pregunta de opción múltiple:

Un hotel tiene cuatro habitaciones vacías. Cada habitación tiene capacidad para un máximo de cuatro personas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden alojar seis personas en las cuatro habitaciones? (A) 4020 B) 4068 C) 4080 D) 4096.

Mi intento:

Si no hubiera una restricción de "cuatro personas", las seis personas podrían alojarse en $4^6=4096$ Sin embargo, esta cifra incluye las combinaciones con 5 o 6 personas en una habitación, que deben excluirse.

Si una habitación tiene 5 ocupantes, otra habitación tiene 1 ocupante. El número de combinaciones "1,5" es ${{4} \choose {2}}$ =12. Si una habitación tiene 6 ocupantes, las otras tres habitaciones no tienen ocupantes, y hay cuatro combinaciones de este tipo.

Creo que la respuesta debería ser $4096-12-4=4080$ pero no estoy seguro. Agradecería cualquier comentario sobre mi intento.

Answer 1

El recuento de $5+1$ necesita ser actualizado. Usted tiene $4$ maneras de elegir la habitación que $5$ estará dentro, $3$ formas de elegir la habitación para $1$ y $6$ formas de elegir al viajero solitario. Así que el número de formas de acomodar a los huéspedes es $4096-4-4\cdot 3 \cdot 6=4096-76=4020$

Answer 2

Parece que está bien. Una forma ligeramente diferente: además de las 4 formas de tener $6$ personas en una habitación, para el caso de $5$ -a-una-habitación, hay 4 formas de elegir la habitación para las 5 personas, y 3 formas de elegir donde se $6$ a persona se quedará, para un total de $4(3)$ =12. Por lo tanto, se obtiene $4096-4-12=4080$ Como has dicho.

Answer 3

4^6 - 4 - 6C5 x 4C1 x 3C1 (de 6 personas elige 5 para alojarse en 1 habitación, luego elige 1 de las 4 habitaciones para las 5 personas, luego elige 1 de las 3 habitaciones restantes para la persona solitaria)