Positiva definida al multiplicar por dos matrices

Question

Tengo una plaza $n \times n$ matriz $\mathbf{X}$ y una no cuadrada $n \times m$ matriz $\mathbf{A}$ . El producto $\mathbf{M} = \mathbf{A}^T \mathbf{X} \mathbf{A}$ da una $m \times m$ matriz. Si sé que $\mathbf{X}$ es positiva definida (o positiva-semi definida), ¿hay alguna manera de saber $\mathbf{M}$ es positiva definida (o positiva-semi definida).

Si no es posible, ¿hay alguna restricción que podamos hacer en $\mathbf{A}$ (o tal vez $\mathbf{X}$ ) para tener esta propiedad? Cualquier indicación será útil. Gracias.

Answer 1

Desde $\mathbf{X}$ es positivo-definido, $y^T \mathbf{X} y > 0$ para todos $y\in\mathbb{R}^n, y\neq 0$ . Así que por cada $x \in \mathbb{R}^m$ tenemos $$ x^T (\mathbf{A}^T \mathbf{X} \mathbf{A})x = (\mathbf{A}x)^T \mathbf{X} (\mathbf{A}x) \geq 0. $$ Esto significa que $\mathbf{M}=\mathbf{A}^T \mathbf{X} \mathbf{A}$ es semidefinido positivo.

Si asumimos que $\mathbf{A}$ tiene rango completo, entonces $\mathbf{M}$ es positivo-definido. En efecto, entonces para toda persona no nula $x\in\mathbb{R}^m$ , $\mathbf{A}x$ también es distinto de cero y por tanto $x^T (\mathbf{A}^T \mathbf{X} \mathbf{A})x > 0$ .