Dejemos que $ ( \Omega , \Sigma , \mu ) $ sea un espacio de medidas, tal que $ \mu $ es $ \sigma $ - finito.
- Una secuencia $ (f_n )_{ n \geq 0 } $ de funciones medibles se dice que es una secuencia localmente Cauchy en medida si :
$ \forall A \in \Sigma \ $ : $ \ \mu (A) < + \infty $
$ \forall \epsilon > 0 \ $ : $ \ \displaystyle \lim_{ p,q \to + \infty } \mu ( \{ \omega \in A \ : \ | f_p ( \omega ) - f_q ( \omega ) | \geq \epsilon \} ) = 0 $
- Una secuencia $ (f_n )_{ n \geq 0 } $ de funciones medibles se dice que es una Cauchy $ \mu $ - casi en todas partes si :
$ \exists N \in \Sigma \ $ : $ \ \mu (N) = 0 $
$ \forall \omega \in \Omega \backslash N \ \ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists n_{ \epsilon , \omega } \in \mathbb{N} \ \ \forall p,q \in \mathbb{N} \ : \ p,q \geq n_{ \epsilon , \omega } \ \ \Longrightarrow \ \ | f_p ( \omega ) - f_q ( \omega ) | < \epsilon $
Pregunta :
Cómo demostrar que, si $ (f_n )_{ n \geq 0 } $ es una secuencia localmente Cauchy en la medida, entonces existe una subsecuencia $ (f_{n_{k}})_{ k \geq 0 } $ que es Cauchy $ \mu $ - casi en todas partes.
Mi intento :
No sé si hay que pasar a una subsecuencia $ (f_{n_{k}} )_{ k \geq 0 }$ que se elige de forma que si $ E_j = \{ x \in A : | f_{n_{j}} (x) - f_{n_{j+1}}(x)| \geq 2^{-j}\}$ con : $ \mu (A) < + \infty $ . entonces $\mu(E_j) \leq 2^{-j}$ . Sea $F_k = \cup_{k}^\infty E_j$ Así que $\mu(F_k) \leq 2^{1-k}$ por subaditividad de $\mu$ . Para $x \notin F_k$ y $i \geq j \geq k$ podemos demostrar que $$|f_{n_{j}} (x) - f_{n_{i}} (x)| \leq \sum_{l=j}^{i-1} |f_{n_{l+1}}(x) - f_{n_{l}} (x)| \leq 2^{1-j}$$ por definición de la subsecuencia. Por lo tanto, $ (f_{n_{k}} )_{ k \geq 0 } $ es localmente Cauchy puntual en $\complement F_k $ . Sea $F = \cap_1^\infty F_k$ que tiene $\mu(F) = 0$ . Pero, todavía no tengo claro donde perseguir mi razonamiento. .
