Encontrar los valores propios de una proyección y explicar su significado

Question

Supongamos que B representa la matriz de proyección ortogonal (perpendicular) de $\mathbb{R}^{3}$ en el avión $x_{2} = x_{1}$ . Calcule los valores y vectores propios de B y explicar su significado geométrico.

Lo que se me ha ocurrido hasta ahora como intento de deducir esta cuestión es, por ejemplo Si elegimos un punto arbitrario en el espacio ( $\mathbb{R}^{3}$ ), entonces debemos proyectar este punto sobre un plano (en particular $x_{2} = x_{1}$ ) que imagino en un eje tridimensional de ( $x,y,z$ ), si elegimos $x_{1}$ para representar el $x$ -eje, $x_{2}$ para representar el $y$ -eje, y $x_{3}$ para representar el $z$ -entonces tendríamos un plano de la ecuación que se parece a $y=z$ o a la inversa ( $x_{2}=x_{1}$ ) que es su equivalente. Al proyectar este punto sobre el plano, veo que es cierto que es perpendicular y su vector sale del plano. Mis problemas son encontrar las nuevas coordenadas del nuevo punto que se proyecta sobre el plano.

Este es un esbozo de lo que tenía en matemáticas.

$\left[\begin{array}{c} ?\\ ?\\ ? \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} \Box & \Box & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ \Box & \Box & \Box \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] $ , $~~$ donde B es la matriz con casillas vacías para los elementos.

Estos signos de interrogación dentro de la primera matriz representan las coordenadas que estoy tratando de encontrar. Una vez que estos nuestra encontrado, haciendo algunas opciones adecuadas para las entradas en la matriz de coeficientes etiquetados B en la pregunta se puede encontrar, de modo que cuando B se multiplica por la última matriz $\left(\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right]~\right) $ obtendremos de nuevo la matriz con las marcas de ? en las entradas. Creo que esto se conoce como hacer una transformación lineal. No he sabido incluir gráficos, pero espero que las palabras hayan sido lo suficientemente detalladas como para poder duplicar lo que estoy diciendo en papel en un sentido gráfico. Si no es así, por favor, hágame saber cómo puedo aclarar algo para arriba. Una ayuda sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Creo que Kristi sólo busca las nuevas coordenadas que obtendría tras proyectar su punto arbitrario ( $x_1,x_2,x_3$ ) en el plano $x_2=x_1$ . No creo que ella estuviera buscando las otras respuestas en particular, pero podrían haber sido de ayuda tal vez. Una vez encontradas las nuevas coordenadas, que ella indica como signos de interrogación en la primera matriz de elementos, podría encontrar los valores que podría introducir en la matriz de coeficientes B para encontrar los valores y vectores propios.

Así que, repitiendo, creo que está teniendo problemas para encontrar esas nuevas coordenadas después de proyectar el punto arbitrario en el plano. Le contestaría pero no estoy seguro de saber cómo hacerlo. Sólo pensé que debía aclarar la pregunta para todos los que vean y respondan.