Encontrar los valores propios de una proyección y explicar su significado

Question

Supongamos que B representa la matriz de proyección ortogonal (perpendicular) de $\mathbb{R}^{3}$ en el avión $x_{2} = x_{1}$ . Calcule los valores y vectores propios de B y explicar su significado geométrico.

Lo que se me ha ocurrido hasta ahora como intento de deducir esta cuestión es, por ejemplo Si elegimos un punto arbitrario en el espacio ( $\mathbb{R}^{3}$ ), entonces debemos proyectar este punto sobre un plano (en particular $x_{2} = x_{1}$ ) que imagino en un eje tridimensional de ( $x,y,z$ ), si elegimos $x_{1}$ para representar el $x$ -eje, $x_{2}$ para representar el $y$ -eje, y $x_{3}$ para representar el $z$ -entonces tendríamos un plano de la ecuación que se parece a $y=z$ o a la inversa ( $x_{2}=x_{1}$ ) que es su equivalente. Al proyectar este punto sobre el plano, veo que es cierto que es perpendicular y su vector sale del plano. Mis problemas son encontrar las nuevas coordenadas del nuevo punto que se proyecta sobre el plano.

Este es un esbozo de lo que tenía en matemáticas.

$\left[\begin{array}{c} ?\\ ?\\ ? \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} \Box & \Box & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ \Box & \Box & \Box \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] $ , $~~$ donde B es la matriz con casillas vacías para los elementos.

Estos signos de interrogación dentro de la primera matriz representan las coordenadas que estoy tratando de encontrar. Una vez que estos nuestra encontrado, haciendo algunas opciones adecuadas para las entradas en la matriz de coeficientes etiquetados B en la pregunta se puede encontrar, de modo que cuando B se multiplica por la última matriz $\left(\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right]~\right) $ obtendremos de nuevo la matriz con las marcas de ? en las entradas. Creo que esto se conoce como hacer una transformación lineal. No he sabido incluir gráficos, pero espero que las palabras hayan sido lo suficientemente detalladas como para poder duplicar lo que estoy diciendo en papel en un sentido gráfico. Si no es así, por favor, hágame saber cómo puedo aclarar algo para arriba. Una ayuda sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Kristi, en primer lugar si estás proyectando $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$ en el $x_{1}=x_{2}$ plano, entonces estás proyectando en el plano $x=y$ no $y=z$ (ya que ha definido $x=x_{1}$ , $y=x_{2}$ y $z=x_{3}$ ).

Ahora, mientras intentas encontrar las coordenadas del vector de proyección, imagina el significado geométrico -- $z$ la "altura" del vector no cambiará nunca, ya que no es relevante para la ecuación, pero $x$ y $y$ dependiendo de dónde se encuentre el vector. Cuando tratamos de encontrar una proyección en un subespacio n-dimensional $W$ podemos utilizar una fórmula de ${proj_{W}}{\vec{x}}$ = $(\vec{u_1}\cdot \vec{x})$$ |vec{u_1} $+$ (\vec{u_2}\cdot \vec{x}) $$\vec{u_2}$$ +\cdots + $$(\vec{u_n}\cdot \vec{x})$$ |vec{u_n} $, where $ \vec{u_1}, \vec{u_2}\dots \vec{u_n}$ forman un base ortonormal del subespacio $W$ . Aquí, $W$ se define como $x=y$ lo que significa que puede ser atravesado por vectores $\vec{v_1}$ = $ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ y $\vec{v_2}$ = $ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$ por ejemplo. Para encontrar una base ortonormal de nuestro espacio (lo que significa que todos los vectores en él serán mutuamente ortogonales/perpendiculares, así como de una longitud uno), usemos la Gram-Schmidt proceso. Una versión ortonormalizada del vector $ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ sería $\vec{u_1}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$$ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$, as that will make it of length one. Now, by Gram-Schmidt, $ \vec{u_2}=\vec{v_2}-\frac{\vec{v_2}\cdot\vec{u_1}}{\vec{u_1}\cdot\vec{u_1}} \vec{u_1} $, since we are basically subtracting the $ |vec{u_1} $ component from our second vector, in order to get a vector perpendicular to $ |vec{u_1} $ as a result. Calculations result into the following: $ |vec{u_2} $= $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$ $-$$ |frac{ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\cdot{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}}{\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\cdot{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}} \frac{1}{\frac{2}} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$ - $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 2 \fin{bmatrix} $. Normalizing the resulting vector, we get $ |vec{u_2} $ = $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} $.

Ahora que tenemos una base ortogonal $\vec{u_1}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$$\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ and $ |vec{u_2} $ = $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} $, podemos calcular la proyección.

Entonces, para encontrar la proyección de su vector $\begin{bmatrix} x_1\\\ x_2\\\ x_3 \end{bmatrix}$ utilizamos nuestra base ortonormal y la fórmula de proyección: ${proj_{W}}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$=($\frac{1}{\sqrt{2}}$$\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \N - fin{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix})(\frac{1}{\sqrt{2}}$$\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix})$$ + $$(\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix})(\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix})$ . Después de la aritmética, el resultado es ${proj_{W}}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix}$=$(\frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}})$$(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \fin{bmatrix}) $+$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ x_3 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} \frac{x_1+x_2}{2}\frac{x_1+x_2}{2} \frac{x_1+x_2}{2} x_3 \fin{bmatrix}$.

Así que, ahora tienes tus coordenadas.

Para averiguar los valores propios, piensa en la naturaleza de la transformación: la proyección no hará nada a un vector si está dentro del plano sobre el que se proyecta, y lo estrellará si el vector es perpendicular al plano. Así, sus valores propios son 1 y 0. Una base del espacio propio de 1 $\xi_{1}$ tendrá dos vectores, ya que el plano está atravesado por dos de ellos. Podrías elegirlos para que sean tu $v_1$ y $v_2$ que fueron $ \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}$ . Para encontrar una base del eigespacio de 0 $\xi_{0}$ , necesitas encontrar un vector perpendicular a este plano. Podrías utilizar una propiedad del producto cruzado, que establece que $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ produce un vector $\vec{v_3}$ perpendicular a ambos. Cruzando los vectores mencionados, se obtiene $\vec{v_3}=\begin{bmatrix} 2\\ -2\\ 0 \end{bmatrix}$ .

Ahora que sabes todo esto, encontrar la matriz B es muy fácil por la inspección; considere $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Answer 2

Una pista: Resuelva primero el mismo problema para la proyección ortogonal sobre el plano $P$ de la ecuación $z=0$ . Seguro que sabes cuál es la proyección sobre $P$ de un punto $(x,y,z)$ ¿cierto? Entonces, ¿cuál es la traducción matricial de las fórmulas que acabas de escribir? Ahora, los vectores propios y los valores propios de este matriz debería ser obvia.

Si escribes una solución completa de este caso, la solución del caso que pides debería estar a tu alcance.

Answer 3

Una proyección ortogonal de $3$ -El espacio de las dimensiones a cualquier plano en él tiene la propiedad de que cuando se repite sigue siendo igual a sí mismo. Simbólicamente, si $p:{\Bbb R}^3\rightarrow\pi$ denota la proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ a través de te origen, entonces $p^2=p\circ p=p$ .

Esto significa que si $v\in{\Bbb R}^3$ es un vector propio, es decir $p(v)=\lambda v$ , entonces debemos tener $p^2(v)=p(p(v))=p(\lambda v)=\lambda^2 v$ pero también $p^2(v)=p(v)=\lambda v$ Por lo tanto $\lambda^2=\lambda$ que dice que $\lambda$ es $0$ o $1$ .

Con esta intuición obtenemos inmediatamente que $\pi$ itsel debe ser el $1$ -y la línea perpendicular a $\pi$ es el $0$ -eigenspace.

Answer 4

Para resumirlo todo:

Primero la matriz: Sus columnas son las imágenes de los vectores base. Como $p({\bf e}_1) =p({\bf e}_2)=({1\over2},{1\over2},0)$ y $p({\bf e}_3)=(0,0,1)$ obtenemos la matriz $$[p]=\left[\matrix{1/2 & 1/2 & 0 \cr 1/2 & 1/2 &0 \cr 0&0&1\cr}\right]\>.$$ Desde $p$ es una proyección sus valores propios son $0$ y $1$ . El eigespacio $E_0$ consiste en los vectores paralelos a la dirección de la proyección, es decir, los múltiplos escalares de $(1, -1,0)$ y el eigespacio $E_1$ consiste en todos los vectores que permanecen fijos bajo $p$ es decir, $E_1=P$ . Una base de $E_1$ viene dada, por ejemplo, por $\bigl((1,1,0),(0,0,1)\bigr)$ .

Answer 5

Deberías pensar en esto geométricamente:

El avión $P = \{x_{1}=x_{2}\}$ está definida por su vector normal $n = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\\ -1 \\\ 0 \end{bmatrix}$ (la raíz cuadrada aparece para conseguir $\langle n, n \rangle = 1$ ). Un vector $v$ se encuentra en el plano $P$ si y sólo si $\langle n,v \rangle = 0$ .

Proyectando ortogonalmente en el plano por $p: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^{3}$ significa que $p(v) \in P$ y $v - p(v) = \lambda(v) n$ para algunos $\lambda(v) \in \mathbb{R}$ .

La condición $p(v) \in P$ es la ecuación $\langle p(v), n \rangle = 0$ y podemos determinar $\lambda(v)$ por \[ \lambda(v) = \lambda(v) \langle n, n \rangle = \langle \lambda(v) n, n \rangle = \langle v - p(v), n \rangle = \langle v,n \rangle - \langle p(v), n \rangle = \langle v,n \rangle. \] Resolviendo la ecuación $v - p(v) = \lambda(v) n$ para $p(v)$ y conectando $\lambda(v) = \langle v,n \rangle$ nos da la fórmula \[ p(v) = v - \langle v,n \cdot n = v - \frac{1}{2} \langle v, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \N - La rama \N - La rama \N - La rama \N - La rama \N - \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} . \] Esta última expresión se convierte fácilmente en forma matricial escribiendo $v = \begin{bmatrix} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{bmatrix}$ y la informática.

En cuanto a los vectores propios, basta con observar que $p(n) = 0$ y $p(v) = v$ para todos $v \in P$ .

---

Añadido:

Como el profesor Blatter regaló la solución, no está de más mostrar lo que dejé para ti:

Tenemos \begin{align*} p\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) & = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} (x_1 - x_2) \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} x_1 - x_2 \\ x_{2} - x_{1} \\ 0 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) \\ \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} . \fin{align*} También se puede calcular $p$ directamente en los vectores base para confirmar lo que está escrito en otras respuestas. Sin embargo, el método que he descrito anteriormente siempre funciona (ya que está libre de coordenadas hasta el final), y es muy raro que se pueda leer la matriz con tanta facilidad como en el enfoque del profesor Blatter.

Por último, el vector $n = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\\ -1 \\\ 0\end{bmatrix}$ es un vector propio del valor propio $0$ (geométricamente es un vector normal al plano y por lo tanto debe ser enviado a cero). Todo vector del plano $P$ es un vector propio del valor propio $1$ : Geométricamente, esto significa que porque se encuentra en el plano sobre el que se proyecta, no se ve afectado por la proyección. Si quieres una base de vectores propios, toma $n$ y dos vectores cualesquiera que abarquen el plano, por ejemplo $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{bmatrix}$ .