Existen, por ejemplo, varios espacios canónicos para definir la transformada de Fourier (es decir, el espacio de Schwartz). ¿Existe también un espacio especialmente adecuado para definir la transformada de Laplace, de modo que ésta sea al menos biyectiva?
Respuesta
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La mejor respuesta que conozco está aquí, dada por Robert Israel: ¿La transformada de Laplace es biyectiva?
En primer lugar, siguiendo el ejemplo de la unitaridad de la transformada de Fourier, siempre debemos intentar comprobar primero los espacios de Hilbert, $L^2$ siendo nuestra primera opción. Entonces podemos ver qué estructura lleva la transformación. Llevamos funciones reales a funciones complejas, y la $L^2$ la condición da analiticidad debido a la convergencia de la integral. En el enlace anterior se dice que hay una buena condición para la biyectividad entre dos espacios naturales de Hilbert. Hay una biyección más general, que se demuestra de forma muy parecida (ninguna de las dos biyecciones es fácil de demostrar) y se puede encontrar aquí: https://mathoverflow.net/questions/44713/when-i-can-safely-assume-that-a-function-is-a-laplace-transform-of-other-functio
Si está tratando de encontrar un $S$ como origen y destino (digamos, restringiendo la transformada de Laplace a argumentos reales), puede haber algún teorema de punto fijo en el análisis funcional que pueda demostrar su existencia (?), pero dudo que encuentres una descripción para $S$ . En cualquier caso, te estarás disparando en el pie, porque cuando restringes la transformada de Laplace a argumentos reales, estás renunciando a toda la estructura analítica de la transformada, estás convirtiendo el teorema de la inversión en una curiosidad insondable y, por supuesto, estás rompiendo los vínculos con la transformada de Fourier y la transformada de Mellin, que requieren integración sobre líneas verticales en el plano complejo. En resumen: ¡no lo hagas!
