Límites en el infinito.

Question

Cuáles son las reglas para evaluar los límites en el infinito.

No sé si puedo aplicar la ley de límites para $\infty-\infty$ o $\infty/\infty$ etc.

El valor de $\lim x - \lim x$ como $x \to \infty$ es indefinido ("infinito").

El valor de $\lim (x-x)= \lim 0$ como $x\to \infty$ es cero.

¿Podemos aplicar aquí las leyes habituales del límite?

Answer 1

El teorema de la adición establece que

$$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x)$$

si existen estos límites .

Por lo tanto,

$$\lim_{x\to\infty}(x-x)\not\equiv\lim_{x\to\infty}x-\lim_{x\to\infty}x$$

no plantea ninguna contradicción. (De hecho, esta pseudoparadoja no está relacionada con la variable que va al infinito, se debe a la función hasta el infinito).

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Los límites al infinito no son esencialmente diferentes de los límites finitos. Siempre se puede transformar

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{t\to 0}f\left(\frac1{|t|}\right).$$

Answer 2

Dado

• $f(x) \to \infty$

• $g(x) \to \infty$

• $h(x) \to L>0$

siempre podemos concluir que

$$f(x)+g(x)\to \infty, \quad f(x)\cdot (\pm g(x))\to \pm\infty$$

$$f(x)\pm h(x)\to \infty, \quad f(x)\cdot (\pm h(x))\to \pm\infty$$

y más en general podemos aplicar reglas similares cuando la expresión no está en un forma indeterminada .

Con respecto a su ejemplo, tiene razón

$$\lim_{x\to \infty} x -\lim_{x\to \infty} x$$

es indefinido pero

$$\lim_{x\to \infty} (x-x)=\lim_{x\to \infty} 0=0$$

Consulte también el

• Conceptos sobre el límite: $\lim_{x\to \infty}(x-x)$ y $\lim_{x\to \infty}x-\lim_{x\to \infty}x$ .