Comprender la prueba de que $\ell_\infty$ es un espacio completo

Question

A continuación, la prueba:

La única parte en la que estoy atascado es la justificación de por qué $x_n$ es un elemento de $\ell_\infty$ que es el conjunto de todas las secuencias acotadas. Creo que lo que el autor trata de demostrar aquí es que para cualquier coordenada j, existe una k lo suficientemente grande como para que $x_j-x^k_j$ es menor que uno y, por tanto, está acotada, pero ¿cómo sabemos que esto funciona para toda la secuencia infinita? Pensé que esto sólo se puede hacer para tuplas finitas, así que sólo porque esto es cierto para el $j$ coordenadas, puede haber algunas coordenadas que necesiten un $k$ para que nadie $k$ palabras para todas las coordenadas.

Answer 1

Comenzamos con la desigualdad $$ |x_j| \leq 1 + \|x^{(k)}\|_\infty. $$ Tienes razón en que esta desigualdad por sí sola no es suficiente como $k$ puede ser arbitrariamente grande. Nuestro objetivo es demostrar que el lado derecho está acotado por una constante fija, independiente de $k$ . El autor señala que es posible demostrar que la secuencia $\{\|x^{(k)}\|_\infty\}$ es Cauchy. Por lo tanto, el valor de $\|x^{(k)}\|_\infty$ también debe estar acotada (todas las secuencias de Cauchy están acotadas), digamos que por algún $M$ . Y así logramos nuestro objetivo: $$ |x_j| \leq 1 + \|x^{(k)}\|_\infty \leq 1 + M. $$