Distribución de la $L^{2}$ norma de un vector de componentes extraídos de distribuciones gaussianas

Question

Hace poco pregunté este pregunta que implica distribuciones uniformes. Me pregunto cuál sería el equivalente para las distribuciones gaussianas. El problema dice lo siguiente.

Consideramos un vector aleatorio $\vec{v} = \left(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\right)$ construido a partir de $n$ variables aleatorias reales extraídas de una distribución gaussiana $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma\right)$ , $\mu$ y $\sigma$ siendo el mismo para todos $x_{i}$ .

¿Cuál es la distribución $D$ de la $L^{2}$ -norma de tales vectores aleatorios $\vec{v}$ : $\left\lVert\vec{v}\right\rVert_{2} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots+x_{n}^{2}}$ ?

En otras palabras, cuál es la expresión analítica de la distribución obtenida mediante este experimento numérico:

# Packages
import numpy as np
import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
mu = 5
sigma = 2
n = 10
count = 100000

# Compute a random norm
def random_norm(mu, sigma, n):
    v = [rd.gauss(mu, sigma) for i in range(0, n)]
    return sum([x ** 2 for x in v]) ** (1./2.)

# Generate random vectors and compute their norm
norms = [random_norm(mu, sigma, n) for i in range(0, count)]

# Plot the resulting distribution
plt.hist(norms, 100)
plt.show()

Answer 1

El distribución no central de Chi con $k$ grados de libertad da la distribución de $\sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left(X_{i}/\sigma_{i}\right)^{2}}$ para variables aleatorias gaussianas independientes con varianzas $\sigma_{1}^{2}, \dots, \sigma_{k}^{2}$ y significa $\mu_{1}, \dots, \mu_{k}$ . Tiene la función de densidad $$f\left(x;k,\lambda\right)=\dfrac{e^{-\left(x^2+\lambda^2\right)/2}x^k\lambda} {\left(\lambda x\right)^{k/2}} I_{k/2-1}\left(\lambda x\right)$$ donde $\lambda = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\mu_{i}^{2}}$ y $I_{k/2-1}\left(\lambda x\right)$ es una modificación de Función de Bessel del primer tipo.

Por lo que se deduce que en nuestro caso con desviación estándar $\sigma$ y la media $\mu$ la función de densidad del $L^{2}$ será la de una distribución Chi no central escalada con $n$ grados de libertad $f\left(x/\sigma;n,\lambda\right)$ , donde $\lambda = \sqrt{n}\mu/\sigma$ .

Para ver esto, podemos ver nuestra norma deseada como formada por $$\sqrt{X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} = \sigma\sqrt{Y_{1}^{2} + \dots + Y_{n}^{2}}$$ donde $Y_{i} \sim \mathcal{N}\left(\mu/\sigma, 1\right)$ .