Pensar y explicar

Question

¿Qué distancia hay entre lo que piensas sobre las matemáticas y lo que dices a los demás? ¿Dices lo que piensas? Por favor, pon ejemplos personales de cómo difieren tus pensamientos y tus palabras, o describe cómo están conectados para ti.

Hace tiempo que me fascina el fenómeno que aborda la pregunta. Tenemos mentes complejas que han evolucionado a lo largo de muchos millones de años, con muchos módulos siempre en funcionamiento. Muchas cosas no las verbalizamos habitualmente, y algunas son muy difíciles de verbalizar o de comunicar en cualquier medio. Ya sea por esta u otras razones, tengo la impresión de que los matemáticos suelen tener procesos de pensamiento tácitos que guían su trabajo y que pueden ser difíciles de explicar, o se sienten demasiado inhibidos para intentarlo. Una situación prototípica es ésta: hay un objeto matemático que es obviamente (para ti) invariante bajo una determinada transformación. Por ejemplo, un mapa lineal puede conservar el volumen por una razón "obvia". Pero no tienes un buen lenguaje para explicar tu razón, así que en lugar de explicar, o quizás después de intentar explicar y fallar, recurres al cálculo. Giras la manivela y, sin demasiado esfuerzo, demuestras que el objeto es realmente invariable.

He aquí un ejemplo concreto. Una vez le mencioné este fenómeno a Andy Gleason; inmediatamente me respondió que cuando impartía cursos de álgebra, si hablaba de subgrupos cíclicos de un grupo, tenía una imagen mental de los elementos del grupo rompiendo en una formación organizada en grupos circulares. Dijo que "nosotros" nunca diríamos algo así a los estudiantes. Sus palabras crearon una imagen vívida en mi cabeza, porque encajaba con mi forma de pensar sobre los grupos. Me recordaron mi larga lucha como estudiante, tratando de unir significa al "grupo", más que a una colección de símbolos, palabras, definiciones, teoremas y pruebas que leo en un libro de texto.

Tenga en cuenta: No estoy defendiendo que convirtamos las matemáticas en un tema sensiblero. No pretendo que el fenómeno que he observado sea universal. I hacer creo que prestar más atención que la costumbre actual a cómo pensáis realmente vosotros y los demás, a las intuiciones, es útil tanto para demostrar teoremas como para explicar las matemáticas.

Tengo mucha curiosidad por las diversas formas de pensar de la gente, y me gustaría escucharlas.

¿En qué estoy pensando realmente? Me angustia ofender a los guardianes del foro y que me regañen (como tienen todo el derecho) por ir en contra de los consejos claramente establecidos con un error de novato. Pero no puedo evitarlo porque tengo mucha curiosidad por su respuesta y puedo soportar que me regañen.

Answer 1

El anillo ${\mathbb Z}/N{\mathbb Z}$ suele definirse de forma bastante engorrosa, y se tarda algún tiempo (infinito en la mayoría de los casos) antes de que los estudiantes se den cuenta de que se puede pensar en ello como ${\bf Z}$ con una sola relación añadida $N=0$ para hacer los cálculos (y el problema que $xy=0$ hace no implica necesariamente que $x=0$ o $y=0$ ), por lo que se trata efectivamente de un objeto muy simple y no de una invención terriblemente abstracta.

Answer 2

Una vez leí una anécdota de un matemático que enseñaba topología en una clase. En un momento dado se atascó y rápidamente dibujó un diagrama en una esquina de la pizarra y, tras estudiarlo durante unos segundos, lo borró y continuó con su exposición formal.

¡Podría haber sido una idea para explicar a sus alumnos lo que vio en su diagrama que no pudo ver en su exposición formal!

Esto me hace ver que, en realidad, utilizamos muchas lenguas y no sólo la oficial para comunicarnos, ya sea con los demás o con nosotros mismos.

Otro ejemplo es Richard Feynman. Escribió el tan de algo como una gran T con la parte horizontal de T estirada para sobresalir del argumento. Pensaba que su propia notación era tan buena como la tradicional, hasta que se dio cuenta de la importancia de los lenguajes públicos sobre los privados, ya que permiten la comunicación pública y a audiencias mucho mayores de lo que los lenguajes privados pueden hacer.

Mis propias aventuras de Feynman con la notación, habiendo aprendido una vez el cálculo de Rham, fue llamar a las operaciones del análisis vectorial - grad, curl y div por cograd, cocurl y codiv porque no operan sobre vectores sino sobre covectores; o más bien, cocampos, en lugar de campos; y lo que me llevó a preguntar - ¡debe ser un cocampo de covectores, un campo de covectores o un cocampo de covectores!

A nivel más personal, me costó entender una definición universal cuando la encontré por primera vez en la teoría de las categorías. Parecía simplemente gnómica. El nombre no ayudaba, ya que se trata de caracterizar algún objeto matemático por sus propiedades y, por tanto, podría haberse llamado mejor definición caracterizadora (aunque, por supuesto, siempre se puede argumentar que cualquier definición debería ser caracterizadora).

También tuve problemas con el haz tangente y el functor. Al final lo entendí geométricamente como un functor en lugar de cómo se construye a través de etapas. Lo encuentro intuitivamente mucho más plausible. Como beneficio adicional, me hizo apreciar la teoría de la categoría ya que todo esto puede ser fácilmente encapsulado a través de t: T->1, un haz natural según Michor, Kolar y Slovak.

Mi propio problema con la teoría de grupos fue no entender qué es un grupo fue o es pero lo que era para ; aquí, el momento iluminador vino de la teoría gauge cuando pude ver el punto de los Grupos de Lie y también de las Álgebras de Lie, el espacio tangente al origen. Dado que originalmente me interesaba la física, más que las matemáticas, esto era quizá natural. Este Además, muestra que el significado no surge únicamente de un tema en sí, que está en su propio universo de significado, por así decirlo; sino también cuando tiende un puente entre temas, iluminando ambos y más. Esto no debería ser una sorpresa, ya que el conocimiento, el saber y el entendimiento son un fenómeno unitario, independientemente de cómo dividamos artificialmente los campos.

Mi teoría personal de lo que constituye el pensamiento en la esfera matemática -así como en otras- deriva de Platón y su noción de locura divina, que no tiene nada que ver con la locura en sí, sino que es una especie de don del espíritu (el pensamiento pragmático es el pensamiento en el plano horizontal -como el que camina por el suelo-; y el pensamiento creativo, es el que está en la escala vertical -el que asciende hacia el cielo de las ideas-. Me gustaría señalar aquí que Parménides, a quien a menudo se le atribuye el inicio de la revolución científica en Occidente, comenzó su poema filosófico/místico con un ascenso a los cielos, por así decirlo; en nuestra propia cultura predominantemente científica, tecnológica y secular, este aspecto se ignora en comparación con lo que decía discursivamente sobre el camino de la verdad, el ser y el movimiento); y también de Simone Weil, la hermana de Andre Weil, que pensaba en el pensamiento como el saber prestar atención a las cosas. Decía que ésta es una de las cosas clave que nos enseña la geometría, aunque -al final- ya no nos interese la geometría, es decir, hayamos pasado página. Personalmente, sospecho que esto lo ha sacado también de Platón y de su teoría del pensamiento dialéctico.