Pensar y explicar

Question

¿Qué distancia hay entre lo que piensas sobre las matemáticas y lo que dices a los demás? ¿Dices lo que piensas? Por favor, pon ejemplos personales de cómo difieren tus pensamientos y tus palabras, o describe cómo están conectados para ti.

Hace tiempo que me fascina el fenómeno que aborda la pregunta. Tenemos mentes complejas que han evolucionado a lo largo de muchos millones de años, con muchos módulos siempre en funcionamiento. Muchas cosas no las verbalizamos habitualmente, y algunas son muy difíciles de verbalizar o de comunicar en cualquier medio. Ya sea por esta u otras razones, tengo la impresión de que los matemáticos suelen tener procesos de pensamiento tácitos que guían su trabajo y que pueden ser difíciles de explicar, o se sienten demasiado inhibidos para intentarlo. Una situación prototípica es ésta: hay un objeto matemático que es obviamente (para ti) invariante bajo una determinada transformación. Por ejemplo, un mapa lineal puede conservar el volumen por una razón "obvia". Pero no tienes un buen lenguaje para explicar tu razón, así que en lugar de explicar, o quizás después de intentar explicar y fallar, recurres al cálculo. Giras la manivela y, sin demasiado esfuerzo, demuestras que el objeto es realmente invariable.

He aquí un ejemplo concreto. Una vez le mencioné este fenómeno a Andy Gleason; inmediatamente me respondió que cuando impartía cursos de álgebra, si hablaba de subgrupos cíclicos de un grupo, tenía una imagen mental de los elementos del grupo rompiendo en una formación organizada en grupos circulares. Dijo que "nosotros" nunca diríamos algo así a los estudiantes. Sus palabras crearon una imagen vívida en mi cabeza, porque encajaba con mi forma de pensar sobre los grupos. Me recordaron mi larga lucha como estudiante, tratando de unir significa al "grupo", más que a una colección de símbolos, palabras, definiciones, teoremas y pruebas que leo en un libro de texto.

Tenga en cuenta: No estoy defendiendo que convirtamos las matemáticas en un tema sensiblero. No pretendo que el fenómeno que he observado sea universal. I hacer creo que prestar más atención que la costumbre actual a cómo pensáis realmente vosotros y los demás, a las intuiciones, es útil tanto para demostrar teoremas como para explicar las matemáticas.

Tengo mucha curiosidad por las diversas formas de pensar de la gente, y me gustaría escucharlas.

¿En qué estoy pensando realmente? Me angustia ofender a los guardianes del foro y que me regañen (como tienen todo el derecho) por ir en contra de los consejos claramente establecidos con un error de novato. Pero no puedo evitarlo porque tengo mucha curiosidad por su respuesta y puedo soportar que me regañen.

Answer 1

La conocida situación de la traducción del lenguaje es, en mi opinión, similar a la tensión entre pensar y explicar.

Soy francés, puedo entender, escribir y explicarme en inglés, pero me siento un poco perdido cuando se me pide que traduzca algún fragmento de inglés al francés, por lo que llamo a esta capacidad de traducción una tercera lengua. Mi conjetura, sensación o punto de vista personal es que el pensamiento es más semántico y -por extrañas (y tristes) razones culturales- se exige demasiado a menudo que la explicación matemática sea a nivel sintáctico.

Answer 2

Me gustaría aprovechar la ocasión y esbozar mi punto de vista sobre los problemas de reconstrucción en la teoría de grafos: veo un grafo como un conjunto de sujetos con una relación entre (algunos de) ellos. Cada nodo (= sujeto) tiene un conocimiento limitado de todo el grafo. La cuestión es cuántos de esos sujetos tienen que juntar sus conocimientos para conocer todo el grafo. Por supuesto, esto depende del tipo de conocimiento limitado que tenga cada sujeto (= nodo). En el caso de que conozca todo menos sus propias relaciones con el resto del grafo, tenemos el problema de reconstrucción de Ulam. Otro tipo natural de conocimiento limitado sería: todas las relaciones excepto las de los nodos más distantes. O bien: todas las relaciones dentro de una vecindad de tamaño fijo y nada más.

Me parece esclarecedor comparar esta situación con el caso de la reconstrucción de un objeto 3D a partir de sus proyecciones 2D (otro tipo de conocimiento limitado).

Answer 3

De alguna manera, mi experiencia, al menos estos días, es bastante diferente. No veo mucha diferencia entre la forma en que pienso en las cosas y la forma en que hablo o escribo sobre ellas. Una de las razones es que estoy involucrado en actividades semi-formales de Internet como blogs, proyectos de polímatas, MO, etc., otra razón es que pienso más en cuestiones conceptuales y meta (como ésta), y otra razón es que estoy bastante interesado en el proceso (para mí y aún más para otros) que conduce a las ideas y respuestas. Además, envejecer puede tener algo que ver: Por un lado, te sorprendes menos de tus propios pensamientos parciales e intuiciones inexplicables, y, por otro lado, te sorprendes menos de tus pensamientos a medias e intuiciones inexplicables.

Answer 4

Profesor Thurston,

En mi propio estudio, he luchado durante muchos años por dar significado a los objetos matemáticos. Es probable que haya aprendido más lentamente que la mayoría, porque me resulta difícil seguir adelante a menos que haya encontrado algo en lo que pueda confiar. Normalmente, cuando intento explicar las matemáticas, planteo a mi interlocutor un problema sencillo para que tenga la experiencia de hacer matemáticas. Casi siempre, le pediré que demuestre que $\pi > 3.$ La experiencia suele ser familiar. Una persona me ha preguntado: "¿en qué se diferencia esto de encontrar la respuesta a cualquier pregunta?".

Otro ejemplo que me gusta dar a la gente es una de las varias pruebas gráficas del teorema de Pitágoras. La que presento es la #9 de este sitio, ya que parece ser la más sencilla:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

Siempre he tenido problemas para explicar cosas como los grupos sin poner ejemplos geométricos sencillos, como los grupos diedros. Que las vueltas del cubo de Rubik se ofrezcan como ejemplo de grupo es bien conocido. La conjugación, por ejemplo, tiene inmediatamente sentido. Elohemahab Solomon ofreció este vídeo

¿Existe un blog/podcast de "Conexiones" para las matemáticas?

donde el Sr. du Sautoy, (hacia las 12:00) en el contexto de los grupos de simetría, compara la fundación del concepto de grupo con el de número. Para resumir al Sr. du Sautoy, la simetría que mide un grupo es análoga a la cantidad que mide el número. Por ejemplo, tenemos sillas y mesas, que son diferentes, pero si tenemos 3 de cada una, la cantidad es la misma. Si tenemos dos paredes de la Alhambra con diseños de aspecto diferente, pero que tienen la misma simetría, entonces un grupo actúa sobre los diseños. Discute $S_3$ y $\mathbb Z_6.$

Acepté los números complejos durante mucho tiempo, pero después de que la experiencia con las matemáticas más allá del cálculo y la exigencia de rigor impregnaran lentamente mi pensamiento, no pude aceptarlos más que como construcciones ad hoc. Finalmente, me satisfizo su construcción como elementos del campo $\mathbb R[x]/(x^2+1).$ Ya hablé de esto en mi respuesta a la pregunta:

Desmitificar los números complejos

Ahora pienso en los números complejos como una construcción abstracta a partir de cosas que intuyo, es decir, los números reales y los polinomios. Las interpretaciones habituales, como vectores en el plano complejo, vectores en $\mathbb R^2$ que se pueden multiplicar, siguen siendo, por supuesto, extremadamente útiles para comprenderlos.

Es probable que ya lo sepa: parece que Hilbert acuñó el término "anillo" a partir de la interpretación de los grupos cíclicos del Sr. Gleason.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(matemáticas)#Historia

Una distribución es algo, con cuya definición he trabajado con éxito, pero de la que todavía tengo poco sentido. Sé que son funciones generalizadas, pero mi falta de comprensión puede ser sólo la falta de experiencia.

Answer 5

Gracias por iniciar este debate. Creo que cualquier tipo de herramienta pedagógica debe compartirse con los estudiantes y los colegas, especialmente en forma escrita. Cuando leo "los clásicos", es decir, obras de matemáticos famosos siempre me pregunto el proceso que siguieron para llegar a esas conclusiones, qué imaginarios pasaron por sus cabezas mientras demostraban un teorema, tal vez eso me sería útil, o no, pero siempre quise saberlo. Creo que durante una clase decir algo como "así es como lo hago, imagina que los elementos del grupo se rompen en una formación organizada en grupos circulares" no es una molestia para nadie. Quizá esta explicación pueda ayudar a un alumno, o a dos (o a todos) a entender el tema un poco más, y eso sigue siendo importante. Richard Feynman solía decir (parafraseando) que nunca sabía de antemano cómo entenderían sus alumnos la mecánica cuántica, no tenía ningún método único, sólo intentaba explicar el tema desde muchos ángulos diferentes con la esperanza de que uno de esos ángulos proporcionara un punto de entrada a un alumno, en el tema.