La adición final:
Como he producido muchas divagaciones, he pensado en cerrar mi (anti)contribución con una versión destilada del ejemplo que he intentado a continuación. Sigue siendo algo muy estándar, pero, espero, con el espíritu de la pregunta original. Lo describiré como si fuera algo personal.
Casi siempre, pienso en un número entero como una función de los primos. Así que para 20, digamos,
20(2)= 0
20(3)=2
20(5)=0
20(7)=6
. .
20(19)=1
20(23)=20
20(29)=20
20(31)=20
20(37)=20
. . .
Es una imagen bastante convincente, creo, un número entero como una función que varía de esta manera durante un tiempo antes de nivelarse finalmente. Pero, por una serie de razones, rara vez lo menciono a los estudiantes o incluso a los colegas. Quizá debería hacerlo.
Respuesta original:
No está claro si esto es un tipo de respuesta apropiado, ya que no estoy proponiendo nada muy específico. Pero voy a tomar el párrafo en relieve en su valor nominal.
Me resulta bastante difícil expresar públicamente mi visión de las matemáticas, y creo que esto es una situación bastante común. Parte de la razón es la dificultad de poner en palabras un sentido de las cosas que, en última instancia, proviene de una visión del paisaje, como puede sugerir la la metáfora. Pero otra razón importante es la desaprobación de los compañeros. Apelando a estereotipos manidos, cada uno de nosotros tiene en él un poco de Erdos, un poco de Thurston, y quizás un poco de Grothendieck, por supuesto en proporciones variables dependiendo de la educación y el temperamento. Creo haber visto en alguna parte de este sitio el sentimiento de que "un mal Erdos todavía podría ser un buen matemático, pero un mal Grothendieck es realmente terrible", o algo parecido. Esta opinión está rodeada de un consenso bastante amplio, creo. Si se me permite usar algunos clichés del mundo de las finanzas, es casi como como si los resultados matemáticos definitivos fueran dinero en el banco. Después de haber acumulado algunos ahorros, puedes permitirte gastar un poco filosofando. Pero entonces, no puedes dejar que el saldo sea demasiado bajo porque la gente empezará a mirarte de forma extraña y sospechosa. Sé que en las infrecuentes ocasiones* en que I que me dejo llevar y transmito mi visión de cómo debería funcionar una determinada área de las matemáticas, lo que lo que debería ser cierto y por qué, analogías convincentes, etc., me siento bastante avergonzado durante un rato. Me da la sensación de que me estoy quedando sin y que tendré que respaldar las palabras altisonantes con algunos teoremas (o al menos lemas) relativamente pronto. (Y es que muchas ideas básicamente sólidas se equivocan al principio por razones triviales).
Ahora bien, quiero dejar claro que, a diferencia de Grothendieck (véanse los primeros párrafos de este carta a Faltings ) Me parece una situación bastante sensata. Para mí, parece ser bastante saludable que mi tendencia a filosofar esté controlada por la exigencia de la comunidad de que que tenga algo que mostrar. Reconozco que esto puede deberse a que mis propias visiones son tan escasas en comparación con las de Grothendieck. En cualquier caso, es interesante observar el fenómeno general, tanto en mí como en los demás.
Por cierto, encuentro la presión de los pares en cuestión notablemente democrática. Obviamente, un matemático bien establecido típicamente tiene más dinero que la media en el banco, por así decirlo. Pero no son pocas las veces que he observado personas eminentes durante periodos de desaceleración, siendo gradualmente ignoradas o simplemente toleradas en sus reflexiones por parte de muchos jóvenes, incluso estudiantes.
Mientras tanto, si eres un joven enérgico con alguna visión convincente de un área de las matemáticas, puede que no sea tan malo soltarse. Si tienes una idea de negocio realmente buena, puede Incluso puede tener sentido pedir un gran préstamo. Y siempre que tengas la personalidad adecuada, la presión de respaldar tus bravuconadas filosóficas con resultados puede estimularte a hacer grandes cosas. Esto no quiere decir que no tengas que aguantar miradas de incredulidad perfectamente razonables, incluso de mí, posiblemente durante años.
*Tal vez parezca frecuente para mis amigos.
Añadido:
Ya que he comentado más arriba algo bastante general, he aquí un intento de contribución específica. No es nada personal, ya que me refiero a un punto de vista bien conocido en la geometría diofantina, según el cual las soluciones de las ecuaciones son secciones de haces de fibras . Una especie de imagen del haz de fibras en cuestión fue popularizada por Mumford en su Libro Rojo. He descubierto una reproducción en esta página . La imagen que hay es de $Spec(\mathbb{Z}[x])$ pero las ecuaciones interesantes, incluso en dos variables, evocarán una imagen más complicada de una superficie aritmética fibrilada sobre la "curva aritmética $Spec(\mathbb{Z})$ . Una solución a la ecuación será entonces una sección del haz que corta las fibras, también de forma complicada. Gran parte del trabajo interesante en la teoría de números se refiere a cómo las secciones se encuentran con las fibras singulares.
A lo largo de los años, he tenido muchos pensamientos diferentes sobre esta perspectiva. Para mí, personalmente, fue realmente decisiva, en el sentido de que no me había interesado mucho por la teoría de los números hasta que me di cuenta, casi con un sobresalto, de que el estudio de las soluciones de las ecuaciones se había "reducido" al estudio de mapas entre espacios de un tipo bastante rígido. En los últimos años, creo que también me he reconciliado con la visión más clásica, según la cual los números son una especie de artilugios algebraicos. Es decir, pensar en asuntos puramente algebraicos parece proporcionar ciertos modos flexibles que pueden quedar oscurecidos por la insistencia en la geometría. También he descubierto que hay una buena cantidad de variación en lo convincente que puede ser la imagen interna de un haz de fibras, incluso entre expertos experimentados en geometría aritmética. Sin embargo, está claro que el enfoque geométrico es importante, y que informa una buena cantidad de matemáticas importantes. Por ejemplo, hay un paso elemental pero clave en la prueba de Faltings de la conjetura de Mordell, conocido como el "truco de Kodaira-Parshin", por el que se obtiene (esencialmente) una curva compacta $X$ de género al menos dos a parametrizar una familia suave de curvas $$Y\rightarrow X.$$ Entonces, siempre que tengas un punto racional $$P:Spec(\mathbb{Q})\rightarrow X$$ de $X$ , puedes mirar la fibra $Y_P$ de $Y$ por encima de $P$ que a su vez es una curva. El argumento es que si tienes demasiados puntos $P$ , se obtienen demasiadas buenas curvas sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Qué tienen de bueno? Bueno, todos ellos se extienden a superficies aritméticas sobre el espectro de $\mathbb{Z}$ que sólo son singulares sobre un conjunto fijo de lugares. Esta parte se puede hacer evidente extendiendo ambos $Y$ , $X$ y el mapa entre ellos sobre los enteros también, desde el principio. Si no tienes esa imagen en mente, la bondad del $Y_P$ no es nada fácil de explicar.
En cualquier caso, lo que quería decir es que la imagen de las soluciones como secciones de haces de fibras es realmente difícil de explicar a la gente sin cierta facilidad en la teoría de esquemas. Como parece tan importante, y porque es un ingrediente crucial en mi propio pensamiento, lo intento de vez en cuando en una exposición a nivel de coloquio, y fracaso estrepitosamente. Me doy cuenta de que casi ninguno de mis colegas intenta siquiera explicarlo en una charla general.
Ahora bien, ya he mencionado que esto dista mucho de ser una imagen personal de un objeto matemático. Pero sigue pareciendo un buen ejemplo de una imagen muy básica que se abstiene de poner en palabras la mayor parte del tiempo. Si realmente hubiera sido sólo una visión personal, incluso podría haber sido todo menos enloquecedor, el cisma entre la claridad de la imagen mental y lo que eres capaz de decir sobre ella. Hay que tener en cuenta que el proceso de poner todo en palabras de manera convincente, de hecho, llevó miles de páginas de trabajo fundacional.
Añadido de nuevo:
Profesor Thurston: Para ser honesto, no estoy seguro de la importancia de las imágenes mentales en competencia en este contexto. Si se me permite, me gustaría sugerir otra posibilidad. No está muy bien pensada, pero tampoco creo que sea totalmente aleatoria.
Muchas personas de fuera de la zona parecen tener dificultades para entender la imagen que mencioné porque intuyen su utilidad . Consideremos una imagen más sencilla imagen de la curva algebraica real que surge cuando se estudian ecuaciones cúbicas como $$E: y^2=x^3-2.$$ Allí, la gente se convence fácilmente de que la geometría es útil, especialmente cuando dibujo la línea tangente en el punto $P=(3,5)$ para producir otro punto racional. ¿Cuál es la diferencia clave de la otra imagen de una superficie aritmética y las secciones? Mi impresión es que tiene que ver principalmente con la sugerencia de que el propio punto tiene una geometría complicada encapsulada por la flecha $$P:Spec(\Bbb{Z})\rightarrow E.$$ Es decir, espacios como $Spec(\Bbb{Q})$ y $Spec(\Bbb{Z})$ son problemáticos y, después de todo, son bastante radicales.
En $Spec(\Bbb{Q})$ se encuentra el absurdo de que el espacio $Spec(\Bbb{Q})$ en sí mismo es sólo un punto. Así que uno tiene que entrar en la cuestión de que el punto está dotado de un anillo de funciones que resulta ser $\Bbb{Q}$ y así sucesivamente. En este punto, los ojos de la gente a menudo se desorbitan, pero no, creo, porque este concepto sea demasiado difícil o porque compita con algún otro punto de vista. Creo que no es porque este concepto sea demasiado difícil o porque compita con algún otro punto de vista. Más bien, el matemático típico será incapaz de ver el punto de mirar estas cosas comunes de esta manera. Surge entonces la tentación de recurrir a la persuasión por la autoridad (tal teorema utiliza este lenguaje y este punto de vista, etc.), pero obviamente es mejor si el público puede apreciar realmente las ideas a través de alguna experiencia de primera mano, incluso de un tipo simple. Tengo una serie de ejemplos que pueden ayudar en este sentido, siempre que alguien tenga la amabilidad de seguir interesado. Pero no estoy seguro de que sean realmente útiles.
En la Universidad de Arizona, tuvimos una vez un seminario de estudio sobre matrices aleatorias y teoría de números, al que Me pidieron que contribuyera con un breve resumen de la teoría análoga sobre campos finitos. Desgraciadamente, esto implica alguna mención de las gavillas, los grupos fundamentales aritméticos y algunas otras cosas extrañas. Después, mi colega Hermann Flaschka, un excelente matemático con quien sentía que podía hablar fácilmente de casi todo, comentó que no podía decir si todo el lenguaje consistía sólo en asociaciones de palabras o si se trataba de alguna geometría real. Estoy seguro de que esto se debe en parte a mi escasa capacidad de de exposición. Pero la conversación posterior me dio la fuerte impresión de que la pregunta que realmente pasó por su mente fue: "¿Cómo podría ser útil pensar en estos objetos de esta manera?
Para reafirmar mi punto de vista, creo que una buena parte de la inhibición conceptual proviene de una especie de preocupación utilitaria intuitiva. Las cosas se complican aún más por el importante hecho de que que este tipo de conservadurismo conceptual es perfectamente sensato la mayor parte del tiempo.
Por cierto, mi elección del ejemplo estaba un poco motivada por el hecho de que es bastante probable que sea difícil para personas ajenas a la geometría aritmética, incluidos muchos lectores de este foro. Esto le da un sabor diferente a las situaciones en las que todos nos entendemos más o menos bien, y nos centramos por tanto en cuestiones pedagógicas referidas a la práctica en el aula.
Una vez más:
Perdonadme por ser pesado con estas repetidas adiciones.
La descripción de su enfoque de las conferencias parece confirmar el punto que he señalado, o al menos tenía algo en mente: Cuando alguien no puede entender lo que tratamos de explicar, tal vez le convenga (real o aparentemente) no hacerlo. Es difícil no sentir que esto también ocurre en el aula a menudo. Esto nos lleva a la obviedad de que lo que tratamos de decir es mejor si comprendemos a quién nos dirigimos y si somos humildes*. Como corolario, lo que evitar decir podría estar igualmente informado.
Mi propio enfoque, por cierto, es casi opuesto al suyo. Por supuesto, no puedo absorber los detalles técnicos sentado, pero hago lo posible por concentrarme durante toda la hora o así, casi sin importar el tema. (Aquí en Corea, no es raro que las conferencias de los seminarios estándar sean dos horas). Si se me permite una generalización simplista, su enfoque me parece común entre personas profundamente creativas, mientras que los estudiantes perennes como yo tienden a seguir los coloquios más de cerca. No pretendo ni halagos ni modestia con este comentario, sino sólo una observación. Además, intento crear una imagen compleja (ahí está esa palabra de nuevo) del problema de la comunicación.
En cuanto a $Spec(\Bbb{Z})$ Quizás haya ocasión de aburrirle con eso en otro momento. ¿Por qué no publica una pregunta (suponiendo que esté interesado)? Entonces es probable que obtenga un gran número de perspectivas más competentes que la mía. Podría ser un experimento interesante relacionado con su pregunta original.
*Me doy cuenta de que no soy quién para decirle a nadie que sea humilde.
