La gente ha mencionado ejemplos que son difíciles de compartir debido a algún tipo de requisitos previos. Aquí hay uno: Aprendí PDE con un profesor que, en su mente, siempre estaba pensando en la teoría de la distribución, pero oficialmente no podía hablar de ella hasta después de cubrir el material relevante para los exámenes. En la teoría de la distribución, siempre que veas una integral sobre un dominio $\int_\Omega u(x) dx$ realmente se imagina la función característica $\int \chi_\Omega(x) u(x) dx$ o $\int H(f(x)) u(x) dx$ si $f$ es una función definitoria de $\Omega$ y $H$ es una función de lado pesado. Desde este punto de vista, se imagina que todas las funciones son suaves y con soporte compacto (o se pueden imaginar sus aproximaciones), de modo que si se integra por partes en $\int \chi_\Omega \nabla u(x) dx = - \int \nabla \chi_\Omega u(x) dx = \int \delta(f(x)) \nabla f(x) u(x) dx$ . Los términos de frontera vienen cuando la derivada llega a la función característica. Lo mismo para el teorema de Stokes, el teorema de divergencia de Gauss. Es bastante práctico calcular de esta manera.
Durante un tiempo esto fue todo lo que entendí hasta que más tarde descubrí lo que pasaba. El límite de los cocientes de diferencia de $\chi_\Omega$ se apoya claramente en el límite de $\Omega$ y está claro, sobre todo si se hace una aproximación, que $\nabla \chi_\Omega$ apunta en la dirección del aumento de $\chi_\Omega$ -- es decir, la normalidad interior. Más sencillamente: hay dos puntos de vista -- si se toman cocientes de diferencia de $u$ se utiliza un punto de vista lagrangiano en el que el punto en la posición $x$ se mueve en la dirección $i$ y se observa un cambio en $u$ entre esos puntos; en su lugar, se puede adoptar un punto de vista euleriano, (en el que los cocientes de diferencias adyacentes van en la función característica) y se puede observar el movimiento de la región con $u$ arreglado.
Hasta que no entienda este punto de vista de forma más sencilla, no será realmente sensato explicarlo a los demás. Pero ahora sé que dar una versión diluida de la misma prueba cuando se "demuestra" el teorema fundamental del cálculo / la divergencia de Gauss para una clase de cálculo, de hecho, no pierde ninguna idea clave (excepto los tecnicismos como que se necesita el teorema del valor medio para asegurar que los cocientes de las diferencias están acotados). Por supuesto, también hablaría de las funciones características a cualquier estudiante de matemáticas, ya que es un punto de vista agradable.
Por cierto, en el cálculo de variaciones, cuando su $u(x) = L(x, \phi(x) )$ es un lagrangiano y $\phi(x)$ es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange, y tomas cocientes de diferencias usando el flujo de un campo vectorial cuyo flujo preserva el Lagrangiano (una "simetría"), terminas con el teorema de Noether a través de sólo esta variación (sólo hay términos de frontera en lo que llamé "el punto de vista Lagrangiano" porque varías a través de una familia de soluciones excepto en la frontera). Así que también es una buena forma de demostrar las leyes de conservación de un plumazo.
Mi punto: durante un tiempo, la teoría de la distribución parecía una teoría mágica con prerrequisitos que la hacían inexplicable en la charla diaria, pero una vez que realmente entendí las ideas, generalmente pude descartar el vocabulario (en realidad, toda la teoría puede ser reemplazada a menudo por cortes, particiones de la unidad, expansión de Taylor y cambios de variable, aunque sigo pensando que es genial aprenderla). Sospecho que este fenómeno no es infrecuente en las aplicaciones elementales de las teorías matemáticas "sofisticadas". Creo que, a menudo, una vez que se tiene una comprensión más básica, se pueden desechar las nuevas palabras, pero se siguen revelando plenamente las ideas (pero quizá eso se deba completamente a mi propia formación). Aquí se ha hablado de Feynman, que era bueno haciendo esto en el contexto de la física. Si ves sus (excelentes) conferencias en el Proyecto Tuva verás más o menos la demostración del teorema de Noether sobre el que acabo de escribir.
Un segundo punto:
Otra cosa que creo que me pasa es que siento cierta presión para no transmitir cómo a menudo Me apoyo en los modos de pensamiento geométricos, especialmente cuando van en contra de la forma habitual de explicar las cosas, o del bagaje de un alumno típico, y no son completamente necesarios.
Ejemplo 1: Cuando se reduce una matriz en filas, se realizan un montón de cambios (sobre todo algunas "transvecciones") en la base del espacio de la imagen hasta que algunos de sus vectores base (digamos $v_1 = T e_1, v_2 = T e_2$ ) abarcan la imagen de la matriz $T$ . Cuando se imagina el dominio de $T$ foliados por conjuntos de niveles (que son paralelos al espacio nulo de $T$ ), se sabe que los vectores base restantes $e_3, e_4, ...$ puede ser traducido por algún elemento en el ámbito de $e_1, e_2$ (es decir, cualquiera que se encuentre en el mismo conjunto de niveles) para obtener una base para el espacio nulo. Ahora bien, así es como visualizamos la situación, pero ¿es así como calculamos y explicamos? ¿O nos limitamos a hacer el álgebra, que en este punto es bastante fácil? Si el álgebra es fácil y la geometría tarda en explicarse y no es "necesaria" para el cálculo, ¿por qué explicarla? Esto es un dilema porque una vez que el álgebra esté suficientemente bien desarrollada es posible que la necesidad del pensamiento geométrico (completamente equivalente) sea cada vez más rara; y el álgebra parece ser más "robusta" en el sentido de que se pueden explorar cosas que no se ven muy bien. Pero entonces, cuando los estudiantes aprenden el teorema de la función implícita, de alguna manera siento que haber recurrido a ese tipo de foliación mucho más a menudo ayudaría a entender su contenido geométrico. Aun así, aunque esté en tu cabeza y sea muy importante, ¿vas a dibujar una foliación cada vez que hagas operaciones con filas? Conocemos la geometría, conocemos el álgebra, pero llevaría un tiempo explicar repetidamente cómo apoyarse en la geometría mientras se ejecutan los cálculos.
Ejemplo 2: (Cosas que no son gráficos)
Otro problema al que se enfrenta el pensamiento geométrico es que las matemáticas modernas a menudo parecen considerar que las imágenes no son pruebas, aunque sean más convincentes, por lo que existe un sesgo en cuanto a la forma de invertir el tiempo de clase. Digamos que se quiere diferenciar $x^3$ . Se puede dibujar un cubo, y otro un poco más grande, y luego mirar la diferencia de los cubos y subdividirla en un montón de pequeñas regiones, tres losas más grandes que ocupan la mayor parte del volumen. Algebraicamente, esta subdivisión corresponde a multiplicar $(x+h)^3$ ; la recopilación de los términos utiliza la conmutatividad, que corresponde a la rotación de las distintas piezas idénticas. No es diferente escribir esta prueba algebraicamente, la diferencia es que la algebraica es una "prueba" pero la geométrica no lo es? Aunque sea más convincente. Así que es como si la imagen sólo estuviera ahí para la cultura.
Tal vez tenga el tiempo de la conferencia para enseñar ambas cosas, lo haré. Pero me gustaría ir más allá. Cuando diferencio la función raíz cúbica, aparece el mismo cubo y lo repaso si me apetece sólo para convencerme de la verdad. En realidad, cada vez que utilizo la regla del producto siempre imagino el mismo rectángulo con un rectángulo un poco más grande. Mi punto de vista es que una "definición" importante de la multiplicación es en términos de áreas, y que una función lineal es no necesariamente un gráfico. Cuando pienses en una función lineal, también debes imaginarte cosas como rectángulos, sectores, triángulos semejantes como los que surgen al "probar" fórmulas básicas de diferenciación. Diferenciar la integral puede parecer un truco mágico, pero en realidad es sólo una continuación del punto de vista de que la multiplicación puede parecer un área/volumen y la diferenciación significa tomar un pequeño cambio en la entrada.
Ahora bien, me gustaría que ese punto de vista se asimilara, pero no está exactamente en el libro de texto, ni es completamente coherente con lo que les enseñaron otros profesores a los alumnos. Es difícil ir en contra de la idea de que "hay que pensar gráficamente" -- si alguna vez pienso en la función seno o tangente ahora, puede ser el área de un triángulo, puede ser la longitud de algún segmento de línea vertical, pero básicamente nunca es usando la gráfica, que no contiene básicamente ninguna información adicional. Si tengo más de una oportunidad, intentaré explicar ambas cosas, pero ¿es realmente útil ir diciendo todo el tiempo por qué las gráficas no son el fin de todo?
Además, si bien puedo expresar las imágenes en mi cabeza de una en una, el hecho de ver estas imágenes repetidamente, una y otra vez, es algo que me parece más difícil de expresar. Al fin y al cabo, ¿no se puede hacer álgebra y pasar por estas cosas más rápidamente? El álgebra también es más "fácil"; ocupa menos espacio.
