No entiendo la noción de fijación del manómetro ¿podemos elegir cualquier calibre o hay algunas restricciones?
Por ejemplo, ¿por qué podemos elegir $\nabla\phi = 0$ aquí: https://physics.stackexchange.com/q/188778/
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, es importante señalar que en el electromagnetismo clásico, el $\mathbf{A}$ y $\phi$ campos no son físicos de la misma manera que los $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ son. No podemos medirlos y no están definidos de forma única.
La energía potencial gravitatoria es una buena analogía. Supongamos que un objeto está sobre una mesa a una altura $h$ por encima del suelo. Podríamos decir que el objeto tiene energía potencial $U=mgh$ , eligiendo el piso para ser $U=0$ , o que el objeto tiene energía potencial $U=0$ , eligiendo la mesa para estar donde $U=0$ . De hecho, podríamos elegir que la energía potencial gravitatoria fuera cualquier $U=mgh+C$ para cualquier $C$ , siempre que utilicemos la misma definición de energía potencial en el mismo problema .
Al igual que podemos añadir cualquier constante a la energía potencial gravitatoria, podemos añadir algún campo vectorial adicional $\mathbf{V}$ a $\mathbf{A}$ . Definamos el nuevo potencial vectorial $\mathbf{A'}=\mathbf{A}+\mathbf{V}$ . Por la definición del potencial vectorial, sabemos que $\nabla \times \mathbf{A'} = \mathbf{B}$ . Utilizando las propiedades del rizo, encontramos $\nabla \times \mathbf{A'} = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{B}$ . Sin embargo, sabemos que $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ por lo que podemos escribir $\mathbf{B}+\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{B}$ . Por lo tanto, vemos que podemos añadir cualquier $\mathbf{V}$ tal que $\nabla \times \mathbf{V}=\mathbf{0}$ . Debido a una identidad en el cálculo vectorial, sabemos que cualquier campo vectorial sin curvas puede escribirse como el gradiente de un campo escalar, digamos $\psi$ .
Cuando repasamos las matemáticas encontramos que cuando cambiamos $\mathbf{A}$ a $\mathbf{A'}=\mathbf{A}+\nabla\psi$ tenemos que cambiar $\phi$ a $\phi'=\phi-\frac{\partial \psi}{\partial t}$ .
Así que no tenemos una libertad infinita en los calibres. Tenemos la libertad de elegir cualquier campo escalar $\psi$ y luego transformar $\mathbf{A}$ y $\phi$ como en el caso anterior. Las dos opciones de calibre más populares son la de Coulomb y la de Lorenz, que se detallan en el artículo de la Wikipedia que has enlazado en tu pregunta.
maphilli14
Puntos
46
Intenta pensar en el potencial gravitatorio de la Tierra $V(x)$ . Si se añade una constante en el espacio al potencial $V(x)+c$ su gradiente $F=-\nabla V(x)$ permanece inalterado. Por lo tanto, la descripción de los observables físicos (las fuerzas) en términos de potencial es un tanto exagerada. Cuando se resuelve un problema de caída de un objeto en la tierra, se suele poner el potencial al nivel del mar $V=0$ . Este es, en mi opinión, el procedimiento de fijación del calibre en el caso más sencillo.
Lo mismo ocurre con el electromagnetismo. Como las ecuaciones de Maxwell contienen campos y fuentes con operadores diferenciales, debes comprobar si hay algún cambio en la elección de los potenciales, que deje los campos inalterados. Esto es la invariancia gauge, y es una consecuencia estricta de su intento de describir la física de $E$ y $B$ utilizando un potencial vectorial y un potencial escalar $\vec{V},\phi$ . Consulta la página de la wikipedia mencionada anteriormente para saber el grado de libertad que tienes al fijar un calibre.
Por lo tanto, imitando la fijación del potencial gravitatorio, se debe utilizar el procedimiento de fijación del calibre de la manera más conveniente para el problema dado (es decir, como se sugiere, $\phi=0$ y, en consecuencia $\nabla\phi=0$ , como en el indicador temporal).
