Dados dos grupos finitos $G_1$ y $G_2$ y algunas representaciones $\rho_1: G_1 \to V_1$ y $\rho_2: G_2 \to V_2$ parece que la forma estándar de crear una representación para $G_1 \times G_2$ es utilizar el producto tensorial $$\rho_1(g_1) \otimes \rho_2(g_2) \quad g_1,g_2 \in G_1,G_2.$$ Me parece que también se podría utilizar la suma directa $\rho_1(g_1) \oplus \rho_2(g_2)$ , porque los bloques en la forma matricial de la representación no interactúan y se obtiene el efecto deseado. Dado que esta representación podría tener una dimensión inferior a la del producto tensorial, ¿por qué no se utiliza?
Respuesta
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Cuando $V_1$ y $V_2$ son representaciones de $G_1$ y $G_2$ respectivamente, utilizaré $V_1 \boxtimes V_2$ para significar la representación de $G_1 \times G_2$ con un espacio vectorial subyacente $V_1 \otimes_{\mathbb{C}} V_2$ y $V_1 \boxplus V_2$ para significar la representación de $G_1 \times G_2$ con un espacio vectorial subyacente $V_1 \oplus V_2$ .
Si $V$ es una representación irreducible de $G_1 \times G_2$ entonces $V$ es isomorfo a $V_1 \boxtimes V_2$ para algunas representaciones irreducibles $V_1$ y $V_2$ de $G_1$ y $G_2$ respectivamente. Esto significa que si conocemos las representaciones de $G_1$ y $G_2$ y, a continuación, utilizando el $\boxtimes$ podemos llegar a todas las representaciones (irreducibles) de $G_1 \times G_2$ . Por el contrario, el $\boxtimes$ producto de dos representaciones irreducibles siempre produce una representación irreducible de $G_1 \times G_2$ .
Por otro lado, $V_1 \boxplus V_2$ es siempre reducible como $G_1 \times G_2$ representación, ya que ambos subespacios vectoriales $V_1$ y $V_2$ son estables bajo el $G_1 \times G_2$ acción. En el $V_1$ subespacio, realmente sólo el $G_1$ parte de los actos del grupo, y el $G_2$ actúa de forma trivial, y de forma similar para el $V_2$ subespacio. No podemos producir todas las representaciones irreducibles de $G_1 \times G_2$ utilizando esta construcción, que ya se puede ver en el ejemplo $G_1 = G_2 = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ .
