Para no aburrir con la motivación, iré directamente al grano. Llevo bastante tiempo luchando por encontrar soluciones analíticas a la ecuación diferencial $$y'' + \frac{a}{x}y' - \frac{b}{x^2\left(1 - \frac{c}{x^{n-2}}\right)}y = 0,\tag{1}$$ donde $a,b,c$ son constantes positivas, y $n \geq 4$ un número entero positivo. Estoy interesado en el comportamiento de esta ecuación alrededor de $x = x_p \equiv c^{n-2}$ . Mi enfoque fue utilizar el método de Frobenius, y plantear las dos soluciones $$y_1(x) = \sum_{k \ge 0}a_k(x - x_p)^{k+1} \hspace{0.2cm}\text{ and } \hspace{0.2cm}y_2(x) = C\log(x-x_p)y_1(x) + \sum_{k\ge0}b_k(x - x_p)^k,$$ donde $a_k,b_k$ son constantes a determinar, con $a_0,b_0 \neq 0$ y $C$ una constante que puede ser cero. [Estas soluciones se han obtenido calculando primero los índices de la ecuación indicial asociada para $x = x_p$ (resultan ser 0 y 1)]. Me encuentro con algunos problemas al intentar deducir las relaciones de recurrencia para $a_k$ y $b_k$ . Acabo multiplicando (1) por $x^2(1 - \frac{x}{x^{n-2}})$ para simplificar la forma, pero entonces obtengo la expresión implacable (para $y_1$ ) $$x^2\left(1 - \frac{c}{x^{n-2}}\right)\sum_{k\ge 0}a_k(k+1)k(x-x_p)^{k-1} + ax\left(1 - \frac{c}{x^{n-2}}\right)\sum_{k\ge 0}a_k(k+1)(x-x_p)^k - b\sum_{k\ge 0}a_k(x-x_p)^k = 0$$ No me queda nada claro cómo escribir esto únicamente en términos de $(x-x_p)$ factores, sin factores extraños de $x$ o $(x + x_p)$ etc. ¿Quizás haya un enfoque mejor para resolver (1)? O tal vez este método está bien, pero no veo cómo proceder. Se agradece cualquier aportación.
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$y''+\dfrac{a}{x}y'-\dfrac{b}{x^2\left(1-\dfrac{c}{x^{n-2}}\right)}y=0$
$x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+ax\dfrac{dy}{dx}-\dfrac{bx^{n-2}}{x^{n-2}-c}y=0$
Con referencia a http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0216.pdf :
Dejemos que $r=x^{n-2}$ ,
Entonces $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dr}\dfrac{dr}{dx}=(n-2)x^{n-3}\dfrac{dy}{dr}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left((n-2)x^{n-3}\dfrac{dy}{dr}\right)=(n-2)x^{n-3}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dr}\right)+(n-2)(n-3)x^{n-4}\dfrac{dy}{dr}=(n-2)x^{n-3}\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{dy}{dr}\right)\dfrac{dr}{dx}+(n-2)(n-3)x^{n-4}\dfrac{dy}{dr}=(n-2)x^{n-3}\dfrac{d^2y}{dr^2}(n-2)x^{n-3}+(n-2)(n-3)x^{n-4}\dfrac{dy}{dr}=(n-2)^2x^{2n-6}\dfrac{d^2y}{dr^2}+(n-2)(n-3)x^{n-4}\dfrac{dy}{dr}$
$\therefore x^2\left((n-2)^2x^{2n-6}\dfrac{d^2y}{dr^2}+(n-2)(n-3)x^{n-4}\dfrac{dy}{dr}\right)+a(n-2)x^{n-2}\dfrac{dy}{dr}-\dfrac{bx^{n-2}}{x^{n-2}-c}y=0$
$(n-2)^2x^{2n-4}\dfrac{d^2y}{dr^2}+(n-2)(a+n-3)x^{n-2}\dfrac{dy}{dr}-\dfrac{bx^{n-2}}{x^{n-2}-c}y=0$
$(n-2)^2r^2\dfrac{d^2y}{dr^2}+(n-2)(a+n-3)r\dfrac{dy}{dr}-\dfrac{br}{r-c}y=0$
$(n-2)^2r(r-c)\dfrac{d^2y}{dr^2}+(n-2)(a+n-3)(r-c)\dfrac{dy}{dr}-by=0$
Que se reduce a la ecuación hipergeométrica de Gauss.
