Comprensión de los homomorfismos de anillos polinómicos cotizados

Question

Estoy tratando de encontrar todos los homomorfismos de $\mathbb{R[x]}/(X^2+1)$ a $\mathbb{C}$ . Estoy usando el primer teorema de los isomorfismos, como se dice aquí Homomorfismos de anillos polinómicos cotizados a algunos $\mathbb{Z_n}$ y sé demostrar que existe un homomorfismo $ \phi$ y cómo demostrar que $ \langle X^2 + 1 \rangle \subset ker{\phi}$ .

Pero todavía no puedo demostrar dos cosas: que es onto y que $ker{\phi} \subset \langle X^2 + 1 \rangle$ - Creo que he omitido esta parte, mi intuición me dice que mostrar que el polinomio está en el núcleo puede ser insuficiente para decir que el polinomio es igual al núcleo.

Answer 1

Homomorfismos $f:\Bbb R[X]/(X^2+1)\to \Bbb C$ corresponden a homomorfismos $\phi:\Bbb R[x]\to\Bbb C$ que tiene $(X^2+1)\,\subseteq\,\ker\phi$ (como $f$ tiene que llevar 'todas las formas de' cero a cero).

Ahora un $\phi:\Bbb R[X]\to\Bbb C$ debe mapa $1$ a $1$ (porque, supongo, se supone la unitaridad de los anillos) y, a priori, puede mapear $X$ a cualquier lugar de $\Bbb C$ pero eso ya determina todo el homomorfismo $\phi$ .

Entonces, $(X^2+1)\subseteq\ker\phi\ \iff\ X^2+1\in\ker\phi\ \iff\ \phi(X)^2=-1$ , eso significa que, o bien $\phi(X)=i$ o $\phi(X)=-i$ . Así que obtenemos exactamente dos tales homomorfismos.