Predicción de colisiones de objetos acelerados en un entorno sin fricción

Question

Antecedentes

Estoy construyendo un juego sencillo en el que dos naves se lanzan misiles en el espacio.

Las cosas se complicaron cuando las naves empezaron a moverse en un entorno sin fricción y los misiles, naturalmente, tuvieron que hacer lo mismo.

Locales

1. Un misil tiene una aceleración constante y trata de alcanzar un objetivo en movimiento en un entorno sin fricción.
2. El objetivo también se acelera constantemente en el mismo entorno sin fricciones.
3. El entorno sin fricción sólo tiene dos dimensiones
4. No hay gravitación que afecte al misil

Pregunta

¿Qué matemáticas debo utilizar para determinar la dirección en la que el misil debe sacudirse?

Lo que tengo ahora mismo

He implementado esta respuesta que funciona bastante bien. No estoy 100% seguro de lo que significa a, b, c, etc. y no estoy seguro de qué matemáticas se implementan aquí.

He modificado la respuesta anterior haciendo que el misil imite las sacudidas de sus objetivos y añadiendo las suyas propias encima de estas. Es una solución fea para decir lo menos.

Problema con la solución actual

La solución actual requiere conocer la velocidad del misil.

El misil acelera constantemente y no tiene velocidad máxima.

A menos que sepa lo lejos que viajará el misil, No puedo saber la velocidad media.

La solución anterior requiere que conozca la velocidad del proyectil.

Answer 1

Aquí está la física:

En una dimensión $x(t)=x_0+v_0t+at^2/2$ . $x_0$ es la coordenada inicial, $v_0$ es la velocidad inicial. Para tu problema, tienes dos direcciones (a lo largo de $x$ y a lo largo de $y$ ) y dos objetos (el objetivo se denotará con el subíndice T, el misil con el subíndice M) $$ x_T(t)=x_{T,0}+v_{T,x,0} t+a_{T,x}t^2/2\\ y_T(t)=y_{T,0}+v_{T,y,0} t+a_{T,y}t^2/2\\ x_M(t)=x_{M,0}+v_{M,x,0} t+a_{M,x}t^2/2\\ y_M(t)=y_{M,0}+v_{M,y,0} t+a_{M,y}t^2/2\\ $$ Es posible que algunas de sus velocidades o posiciones iniciales sean 0, pero escribí las ecuaciones para el caso general. En el lado derecho de estas ecuaciones conoces las posiciones y velocidades iniciales, ambas $x$ y $y$ para el objetivo y el misil, y los dos componentes de la aceleración del objetivo.

Cuando el misil alcanza el objetivo $x_T(t)=x_M(t)$ y $y_T(t)=y_M(t)$ . Entonces puedes reescribir estas ecuaciones como: $$ (x_{T,0}-x_{M,0})+(v_{T,x,0}-v_{M,x,0})t+(a_{T,x}-a_{M,x})t^2/2=0\\ (y_{T,0}-y_{M,0})+(v_{T,y,0}-v_{M,y,0})t+(a_{T,y}-a_{M,y})t^2/2=0 $$ Ahora tienes dos ecuaciones, con incógnitas $t, a_{M,x},a_{M,y}$ . Si no tienes otra ecuación, tienes un número infinito de soluciones. Puedes dar en el blanco en cualquier momento $t>0$ si tienes suficiente aceleración. Si conoces el valor absoluto de la aceleración del misil $a_M$ puede añadirlo como una de sus ecuaciones $a_M^2=a_{M,x}^2+a_{M,y}^2$ . O si está interesado en la dirección $\theta$ con respecto a la $x$ dirección, se puede escribir $a_{M,x}=a_M\cos(\theta)$ y $a_{M,y}=a_M\sin(\theta)$ . Ahora tienes que resolver estas ecuaciones, eliminando $t$ . Ten en cuenta que, al tratarse de una ecuación cuadrática, tendrás que elegir la solución positiva. De todos modos, es posible que tengas varias soluciones, o ninguna si tu aceleración es muy pequeña.

Una vez que obtenga la solución para $a_{M,x}$ y $a_{M,y}$ Puedes utilizar las 4 primeras ecuaciones para trazar las trayectorias en función del tiempo.