$\operatorname{Bin}{(n,U)}$ , donde $U$ es uniforme en $(0,1)$

Question

Una pregunta en mi clase de probabilidad:

Dejemos que $X$ tienen la distribución binomial $\operatorname{Bin}{(n,U)}$ , donde $U$ es uniforme en $(0,1)$ . Demostrar que $X$ se distribuye uniformemente en $\{0,1,\dotsc, n\}$ . (Sugerencia: considere el uso de una de las siguientes herramientas: función generadora, función generadora de momentos, función característica).

Me cuesta entender la pregunta. ¿Puede alguien, en primer lugar, proporcionar una referencia sobre el significado de $\operatorname{Bin}{(n,X)}$ , donde $X$ es una variable aleatoria? Entonces quizás pueda averiguar cómo proceder.

Actualización: Mi estrategia es utilizar (por ejemplo) la función característica, y demostrar que es la misma que la función característica como si $X$ eran uniformes. Creo que las variables aleatorias tienen la misma distribución si tienen la misma función característica, así que eso lo resolverá.

Si intento encontrar la función característica $\varphi_{X}(t)$ Me sale

$$\varphi_X(t) = \mathbb{E}(e^{itX}) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(e^{itX}\mid U))\\ = \mathbb{E} \left( \sum_{k=0}^n e^{itk} \binom{n}{k}u^k(1-u)^k \right)\\=\int_0^1 \left( \sum_{k=0}^n e^{itk} \binom{n}{k}u^k(1-u)^k \right) du\\ = \sum_{k=0}^n e^{itk}\binom{n-1}{k}\frac1k.$$

Si $X$ se distribuyera uniformemente, debería tener la función característica

$$\mathbb{E}(e^{itX}) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n}e^{itk},$$

por lo que debo haber cometido un error, ya que entiendo que las variables aleatorias tienen la misma función característica si tienen la misma distribución. (A no ser que haya alguna razón por la que estas dos sean iguales que no estoy viendo).

Answer 1

A grandes rasgos, si $X = \operatorname{Bin}(n,U)$ entonces una forma intuitiva de entender esto es que dado que $U = u \in [0,1]$ entonces $X = \operatorname{Bin}(n,u)$ . En otros símbolos, $$P(X=i ~|~ U=u) = {{n}\choose{i}}u^i (1-u)^{n-i}$$ En particular, si quisieras intentar calcular directamente $P(X=i)$ puede utilizar la herramienta $$ P(X=i) = \int_{\mathbb{R}} P(X=i~|~U=u)f_U(u)du = \int_0^1 {{n}\choose{i}}u^i (1-u)^{n-i}\,du $$ donde $f_U$ es el PDF de $U$ . Ahora bien, no sugiero necesariamente que se calcule esto directamente, ya que la pista sugeriría otra posibilidad que podría ser más fácil. Sin embargo, espero que esto dé una idea de cómo interpretar y utilizar $X$ .

Answer 2

Lo que se busca en una distribución binomial es repetir $n$ veces un experimento con probabilidad de éxito $p$ donde ambos $n$ y $p$ son constantes.

Imagínese que se determina la $p$ una parte del experimento. Primero se determina una $p$ y luego realizar el experimento $n$ veces y registrar los éxitos. $X$ es el número de esos éxitos.