¿la media de la función máxima es menor que su infimo?

Question

Sea M el operador maximalista diádico de Hardy-Littlewood. Demuestre lo siguiente: existe una constante $C$ tal que para cualquier $f$ , $$ \inf_{x\in I}Mf(x)\le C 2^k\inf_{x\in J} Mf(x) $$ donde $I$ y $J$ son intervalos diádicos con $I\subset J$ y $2^k|I|=|J|$ para algún número entero positivo $k$ (es decir $I$ es el $k$ -generación de $J$ ).

Me he dado cuenta de que este teorema se deduce de $$\frac{1}{|J|}\int_JMf\le C\inf_{x\in J}Mf(x). $$ Es un fenómeno interesante, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

No puedes demostrarlo porque no es cierto. Toma $J=[0,1]$ y $f=\mathbb 1_{[0;2^{-k}]}$ con $k$ un número entero. Entonces tienes $\displaystyle\min_{x\in J} Mf(x)=Mf(1)=2^{-k}$ . Ahora también tenemos

$Mf(x)=1$ si $x\in [0,2^{-k}[$

$Mf(x)=1/2$ si $x\in [2^{-k},2^{-k+1}[$

$Mf(x)=1/2^2$ si $x\in [2^{-k+1},2^{-k+2}[$

...

$Mf(x)=1/2^j$ si $x\in [2^{-k+j-1},2^{-k+j}[$

...

$Mf(x)=1/2^{-k}$ si $x\in [1/2,1[$

Así que $\displaystyle\int_{[0;1]} Mf(x)dx=2^{-k}+\frac{1}{2}2^{-k}+\frac{1}{2^2}2^{-k+1}+\frac{1}{2^3}2^{-k+2}+\ldots+\frac{1}{2^{-k}}2^{-1}=2^{-k}+k\cdot2^{-k-1}$

y así $\displaystyle\min_{x\in J} Mf(x)=o\left(\displaystyle\int_{[0;1]} Mf(x)dx\right)$ cuando $k$ va al infinito, por lo que tu última desigualdad no puede valer para cada $f$ .

Recuerde que aunque $f$ está acotado con soporte compacto $Mf$ no es integrable, por lo que $\displaystyle\int_{-r}^r Mf(x)dx$ llega al infinito cuando $r$ va al infinito mientras que $\displaystyle\int_{-r}^r |f(x)|dx$ permanece acotada por lo que no son "comparables" : la integral de $f$ es un poco $o$ de la integral de $Mf$ cuando $r$ hasta el infinito. "Reescala" todo con el cambio de variable $u=rx$ y tienes otra prueba (sin cálculos) de que tu desigualdad no puede sostenerse. De hecho, la primera prueba es sólo un caso particular de la segunda.

Esto no dice nada sobre la primera desigualdad (que es muy probable que sea cierto ya que está en un libro) pero no estoy seguro de que esta fuera tu pregunta.

Answer 2

Por lo tanto, no sé cómo probar la estimación que pides en tu pregunta original, pero creo que puedo probar la conclusión en la parte inferior de la página 25 en la referencia que me diste. La escritura me resultaba un poco confusa porque creo que Thiele utiliza doblemente el índice $k$ pero esto es lo que creo que queremos mostrar: Que $I$ ser una generación $k$ subintervalo diádico del subintervalo diádico máximo $J$ del conjunto excepcional $F$ . Para todos los $j=1,\ldots,n$ ,

$$\dfrac{|\langle{g_{j},\phi_{I,j}}\rangle|}{|I|^{1/2}}\lesssim 2^{k}$$

Asumo que estás familiarizado con la notación utilizada aquí, ya que evidentemente estás leyendo los apuntes de la conferencia de Thiele (debería haber una vista previa en Google Books aquí ). En beneficio de otros lectores, $g_{j}:=f_{j}/|E_{j}|$ , donde $f_{j}$ es una función medible tal que $|f_{j}|\leq 1_{E_{j}}$ a.e. Desde $\phi_{I,j}$ es un ( $L^{2}$ -normalizada) adaptada al intervalo $I$ tenemos que \begin {align*} \dfrac {| \langle {g_{j}, \phi_ {I,j}} \rangle |}{|I|^{1/2}}& \lesssim \dfrac {2^{k}}{|J|} \int \dfrac {1_{E_{j}}}{|E_{j}|}1_{J}+ \dfrac {2^{k}}{|J|} \int_ {|y| \geq |J|}(|y|/|J|)^{-100}dy \\ & \lesssim 2^{k} \max_ {1 \leq l \leq n} \dfrac {|E_{l} \cap J|}{|E_{l}||J|} + 2^{k} \int_ {|y| \geq 1}|y|^{-100}dy \\ \end {align*} Evidentemente el segundo término es $\lesssim 2^{k}$ . Recordemos que $J$ es un intervalo diádico máximo tal que $$\max_{1\leq l\leq n}\dfrac{|E_{l}\cap J|}{|E_{l}||J|}\geq C,$$ donde $C\geq 1$ es una constante grande y fija (ver pág. 24). Por maximalidad, tenemos que $$\max_{1\leq l\leq n}\dfrac{|E_{l}\cap 2J|}{|E_{l}||2J|}\leq C\Rightarrow \max_{1\leq l\leq n}\dfrac{|E_{l}\cap J|}{|E_{l}||J|}\leq 2C$$ Al reunir estas estimaciones, llegamos a la conclusión de que $$\dfrac{|\langle{g_{j},\phi_{I,j}}\rangle|}{|I|^{1/2}}\lesssim 2^{k}C,\quad\forall j=1,\ldots,n$$