La martingala local es la verdadera martingala

Question

Estoy haciendo una pregunta $X$ sea una martingala local continua y suponga $\mathbb{E}\left[\sup\limits_{0\leq s\leq t} |X_s|\right]<\infty$ para cada $t\geq 0$ . Entonces $X$ es una verdadera martingala.

En la solución, dice lo siguiente- ya que $|X_{\min(T,t)}|\leq \sup\limits_{0\leq s\leq t} |X_s|$ podemos concluir que $\{X_{\min(T,t)} \mid T\}$ es uniformemente integrable.

No estoy seguro de cómo consiguió este paso. ¿No ha mostrado sólo $X_{\min(T,t)}$ es $L_1$ ¿acotado? Esto no implica una integrabilidad uniforme.

Answer 1

La familia $\{X_{\min\{T,t\}},t\geqslant 0, T\mbox{ stopping time }\}$ está más que acotado en $\mathbb L^1$ : está uniformemente acotada (en $t$ y $T$ por una variable aleatoria integrable). Si $\mathcal F:=\{f_i,i\in I\}$ es una familia de funciones tal que $\sup_{i\in I}|f_i|$ es integrable, entonces $\mathcal F$ es uniformemente integrable .