Bellos Teoremas y lo que constituye tan hermoso

Question

A menudo escucho la frase "la belleza matemática". Que una prueba o una fórmula o teorema es hermoso. y estoy de acuerdo en que yo estaba asombrado cuando vi por primera fórmula de Euler, conexión de 3 aparentemente no relacionados ramas de las matemáticas en una sola fórmula $e^{i\pi}=-1$

Pero la belleza es un término bastante subjetivo. Cuando se me enseñó Álgebra Lineal el instructor introduce Cayly-teorema de Hamilton como hermosa, y yo pensaba que era "nada especial".

Estoy interesado en los teoremas que se considera hermoso, y por qué son así.

Sólo como un ejemplo a lo que yo creo que es hermoso, ayer por la noche un amigo me dijo que la suma de los primeros a $n$ números impares es igual a $n^2$. por ejemplo, si $n=3$$1+3+5 =9=3^2$. si $n=5$ $1+3+5+7+9 = 25 =5^2$ Simplista. Sorprendente. Elegante. Me ha gustado mucho.

Yo estaría muy interesado en aprender más teoremas o fórmulas como eso.

Answer 1

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega $$

Answer 2

$$\mathcal G(n)=\int_0^\infty e^{-x^n}dx\qquad=>\qquad n!=\mathcal G\bigg(\dfrac1n\bigg)$$ In particular, the Gaussian integral $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$$

Answer 3

Si $M=M^2$ es un buen compacto $2$-dimensiones de Riemann colector (suave) límite $\partial M$, $K$ denota es de Gauss-curvatura, $k_g$ de la línea geodésica de la curvatura de la frontera und $\chi(M)$ de Euler-Característica, entonces el teorema de Gauss-Bonnnet los estados que $$\int_M K dA + \int_{\partial M}k_g ds = 2\pi \chi(M)$$ (Hay generalizaciones de este a dimensiones superiores. Para mí la belleza particular de este teorema se origina en el hecho de que es uno de los primeros conocimientos de los matemáticos en las relaciones profundas entre los invariantes topológicos y analítica cantidades)

Answer 4

Teorema: existe positivo irracional $a,b$ tal que $a^b\in\mathbb{Q}$.

$\square$ Considera $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=2$. A continuación, cualquiera de $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}$ o $\ldots$ $\blacksquare$

Answer 5

Esto puede sonar tonto, pero la Fórmula Cuadrática fue la primera fórmula que he aprendido a probar, y todavía tengo una debilidad por ella. $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ And do you know what I thought was beautiful? I was so excited when I first learned it that I would solve linear equations as follows: $$ax+b=0$$ $$ax^2+bx+0=0$$ $$x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^2}}}{2a}=-{b\over a}$$