La derivada limitada implica una continuidad uniforme: ¿es necesario que el dominio sea un intervalo abierto?

Question

Si $f: (a,b) -> \mathbb R$ (donde $a,b$ puede ser $\infty$ ) y $f$ 's está acotada, entonces $f$ es uniformemente continua.

¿Por qué el autor especifica "intervalo abierto"? ¿No se aplica igualmente cuando el intervalo es [0,5] o (0,5]?

Si $f$ es [0,5] y su derivada está acotada en este intervalo cerrado, entonces parece que hay que modificar la proposición anterior para que se aplique, ya que no hay ningún intervalo abierto en el dominio que lo contenga. Por supuesto que en este caso podemos aplicar simplemente el Teorema de la Continuidad Uniforme ("función continua en un intervalo compacto implica UC"), pero estoy tratando de entender mejor las condiciones de esta proposición. ¿Y si el intervalo en cuestión fuera semiabierto como [4,5)?

Answer 1

Tienes razón, creo que el autor eligió intervalos abiertos para que sus extremos puedan ser ±∞. Además, si tomas intervalos con extremos entonces tienes que introducir derivadas a la derecha y a la izquierda y todo eso. Esto es una completa pérdida de tiempo ya que, como sabes muy bien, una función continua ya es u.c. en intervalos cerrados y acotados.