¿Por qué la función de valor absoluto no es diferenciable en $x=0$?

Question

Dicen que los límites derecho e izquierdo no se acercan al mismo valor, por lo tanto no satisface la definición de derivada. Pero, ¿qué significa verbalmente en términos de tasa de cambio?

Answer 1

Hay 2 formas de entender tu pregunta, una es preguntando por una prueba, la otra es preguntando por un razonamiento intuitivo, responderé ambas aquí.

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Prueba de que $|x|$ no es diferenciable en $x=0$

Estamos tratando de encontrar

$$\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\quad\text{donde }f(x)=|x|$$ $$\lim_{h\to0}\frac{|0+h|-|0|}{h}$$ $$=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}$$ Encontremos el límite derecho $$=\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}$$ Como $h>0$ $$=\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h}=1$$ Encontremos el límite izquierdo $$=\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}$$ Dado que $h<0$ $$=\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h}=-1$$

Si los límites derecho e izquierdo no son iguales, el límite no existe.

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Razonamiento intuitivo

¿Qué representa la derivada? La pendiente de la recta tangente. Observando distintos valores de la función valor absoluto en algunos gráficos:

Observa que la recta tangente está por debajo de la línea real de la función valor absoluto.

El problema con la derivada en $x=0$ es que cambia abruptamente, y las derivadas no les gusta eso. Compara con el mismo gráfico pero con $x^2$

La diferencia es clara, la recta tangente cambia suavemente al acercarse a $x=0$ en lugar del cambio abrupto de una línea a otra. Por eso la derivada no existe en $x=0$ para $|x|$.

Otra forma de pensar en las derivadas es como “la pendiente de la línea que obtienes cuando te acercas mucho”. Si te acercas mucho a $x^2$ se verá como una línea recta, pero si te acercas mucho a $|x|$, nunca se verá como una línea recta. Si una función es diferenciable, se verá como una línea recta cuando te acerques lo suficiente.