Conjuntos de Borel y mensurabilidad

Question

¿Es siempre posible construir una medida $ \mu $ en un espacio Hausdorff Y tal que la $ \mu $ -son exactamente los conjuntos de Borel de Y?

Por el Teorema en 2.2.13 del libro de Federer esta pregunta en respondida negativamente si podemos responder positivamente a la siguiente:

Sea X un espacio métrico completo y separable. ¿Existe un mapa continuo $ f: X \rightarrow Y $ y un conjunto Borel B de X tal que $ f(B) $ NO es un conjunto de Borel de Y?

Answer 1

Ver Es la proyección de un subconjunto medible en el producto $\sigma$ -en un espacio de componentes medible? .

Doy una respuesta parcial a esa pregunta: Hay espacios métricos completos y separables (equivalentemente, espacios polacos) $X$ un espacio de Hausdorf $Y$ un mapa continuo $f : X \to Y$ y un conjunto de Borel $B$ de $X$ tal que $f(B)$ no es medible por Borel en $Y$ .

En efecto, dejemos que $A$ sea un subconjunto analítico pero no Borel de un espacio polaco $X_1$ . Eso significa que hay un espacio polaco $Y_1$ y un conjunto de Borel $B_1 \subseteq X_1 \times Y_1$ tal que $A$ es la proyección de $B_1$ ., es decir $A=\{x \in X_1|(\exists y)(x,y) \in B_1\}$ .

Ahora pon $X =X_1 \times Y_1$ , $Y=X_1$ , $B=B_1$ y $f(x,y)=x$ para $(x,y)\in X$ .

Entonces, bajo $f$ una imagen de cada subconjunto de Borel en $X$ no es Borel en $Y$ .

Answer 2

Bajo una hipótesis razonable sobre el espacio $ Y $ la respuesta a mi pregunta es NO. De hecho refiriéndose a la teoría del libro de Federer en la sección 2.2 podemos considerar los siguientes dos teoremas:

1) Que $ X $ sea un espacio métrico completo separable, Z un espacio de Hausdorff y $ f: X \rightarrow Z $ sea un mapa continuo. Sea $ \mu $ sea una medida sobre $ X $ tal que todo conjunto cerrado es $ \mu $ -Medible. Entonces, si $ B \subset X $ es un conjunto de Borel, entonces $ f(B) $ es $ \mu $ -Medible.

2) En todo espacio métrico completo sin puntos aislados existe un conjunto de Suslin que no es Borel.

Utilizando 1) y 2) podemos concluir fácilmente:

3) Que $ X $ sea un espacio métrico completo separable sin puntos aislados. Entonces toda medida $ \mu $ en X tal que todo conjunto de Borel es $ \mu $ -medible admite un $ \mu $ -conjunto medible que no es Borel.

Prueba de 3): Por contradicción. Sea $ \mu $ sea una medida que viole el enunciado 3). Por 2) tomamos $ S \subset X $ Conjunto de Suslin que no es de Borel. Como $ S = p(C) $ donde p: $ \mathscr{N} \times X \rightarrow X $ es la proyección y $ C $ es un conjunto cerrado, concluimos por 1) que S es $ \mu $ -medible. Entonces tenemos la contradicción.