Dejemos que $m$ y $p$ sean dos números enteros positivos. Consideremos el siguiente polinomio $$ f(x)=x^p-u_{p-1}\,x^{p-1}-u_{p-2}\, x^{p-2}-\cdots-u_1\, x-u_0 $$ Supongamos que el coeficiente $u_0$ es relativamente primera a $m$ . Considere $a$ y $b$ sean dos números enteros positivos tales que $a<b$ . Mi pregunta es, Si el polinomio $f(x)$ divide los polinomios $x^a(x^b-1)$ sobre el módulo $m$ por lo que podemos concluir que el polinomio $f(x)$ divide el polinomio $(x^b-1)$ sobre el módulo $m$ y no el polinomio $x^a$ . En otras palabras, quiero quiero decir $$ f(x)\mid x^a(x^b-1) \mod{m} \quad \Rightarrow \quad f(x)\mid (x^b-1) \mod{m} \quad \& \quad f(x)\nmid x^a \mod{m} $$ Agradecería mucho cualquier sugerencia
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Amin235
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Probamos por el método de la contradicción o reductio ad absurdum. Supongamos que $f(x)$ no se divide $(x^b-1)$ , lo que hace que que $f(x)$ debe dividir $x^a$ sobre mod $m$ . Por tanto, concluimos que existe un polinomio de grado $a-p$ , como $v(x)$ en la siguiente forma
$$ v(x) \, b(x)=x^a \qquad \mod{m} $$ $$ (x^{a-p}-v_{a-p-1}\,x^{a-p-1}-\cdots-v_1\, x-v_0) (x^p-u_{p-1}\,x^{p-1}-u_{p-2}\, x^{p-2}-\cdots-u_1\, x-u_0)=x^a \, \mod{m} $$ De la ecuación anterior, concluimos que $ v_0\, u_0\mid m$ . Además, por supuesto $(u_0,m)=1$ , con lo que resulta que $v_0=0$ sobre el módulo $m$ . Por lo tanto, tenemos $$ (x^{a-p-1}-v_{a-p-1}\,x^{a-p-2}-\cdots-v_2\, x-v_1) (x^p-u_{p-1}\,x^{p-1}-u_{p-2}\, x^{p-2}-\cdots-u_1\, x-u_0)=x^{a-1} \, \mod{m} $$ Pero no es cierto que $f(x)$ divide dos potencias consecutivas de $x$ , excepto cuando $f(x)$ ser poder de $x$ y se contradice con la suposición de que $a_0$ es copromo a modulo $m$ . Es una discusión verdadera o no. Gracias de nuevo
