¿Cuál es el número $\;'c'\;$ que satisface la conclusión del teorema de Rolle?

Question

Tengo un problema

¿Cuál es el número $\;'c'\;$ que satisface la conclusión del teorema de Rolle para la función $$f(x)=(x^2-1)(x-2)\;\;\text{in}\;(1,\;2]$$ He intentado $$f'(x)= 3x^2-4x-1$$ sabemos, para encontrar 'c' $$f'(x)=0$$

Así que, $$\Rightarrow 3x^2-4x-1=0\\x=\dfrac {4+ \sqrt 4}{6}=1\\ x=\dfrac {4- \sqrt 4}{6}=0.33\\\therefore 1\notin(1,\;2]\\0.33\notin(1,\;2]$$ Por favor, ayuda. Donde he hecho misstake.

Answer 1

Resolver correctamente una ecuación cuadrática

$$3x^2-4x-1=0\\\Rightarrow \dfrac{4\pm\sqrt{16-4(3)(-1)}}{2(3)}\\\Rightarrow x=\dfrac {2\pm \sqrt 7}{3}\\\Rightarrow x=\dfrac {2+ \sqrt 7}{3}\;\text{and}\; x=\dfrac {2- \sqrt 7}{3}\\x=\dfrac {2+ \sqrt 7}{3}=1.55\in (1,\;2]\\ x=\dfrac {2- \sqrt 7}{3}=-.215\notin(1,\;2]$$

Por lo tanto, $\; c=\dfrac {2+ \sqrt 7}{3}\;$ satisface la conclusión de Teorema de Rolle para la función dada.