Producto Cauchy $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{n-k}b_k$

Question

Me han dicho que, si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\{a_{-n}\}_{n\in\mathbb{N}^+}$ , $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{b_{-n}\}_{n\in\mathbb{N}^+}$ son secuencias complejas absolutamente sumables, entonces $$\Bigg(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\Bigg)\Bigg(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n\Bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{n-k}b_k$$ donde $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}$ .

Sé que si $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ o $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es absolutamente sumable, entonces $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_k=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}a_{n-k}b_k$ es decir, la proposición es verdadera si $\forall n\leq-1\quad a_n=0=b_n$ y he intentado utilizarlo para demostrar el caso general, pero no consigo nada. Todavía no he estudiado ninguna teoría de la medida.

I $+\infty$ -¡¡Las gracias por cualquier ayuda!!!

EDITAR : mi pregunta había sido considerada como un duplicado a una pregunta ya se ha preguntado, pero se trata del caso $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_k$ que sí conozco, como había escrito. Aunque, no puedo generalizar eso para mostrar que $(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n)(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n)$ , que espero escribir correctamente como $$(\sum_{k=0}^{\infty}a_k+\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}) (\sum_{k=0}^{\infty}b_k+\sum_{k=1}^{\infty}b_{-k})$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_k +\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} a_{n-k}b_{-k-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} a_{-n+k-1}b_{k}+\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} a_{-n+k-1}b_{-k},$$

es igual a $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{n-k}b_k$ . Las personas que consideraron esta pregunta mía como un duplicado de aquella fueron suficientes para tener esta pregunta cerrada por un tiempo, por lo tanto, supongo que bien puede ser trivial que la igualdad $(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n)(\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{n-k}b_k$ se deriva de la igualdad, conocida por mí, $(\sum_{n=0}^{\infty}a_n)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_k$ . Si eso es trivial, no me doy cuenta de ese hecho: ¿podría alguien, ya sea de los que consideran la cuestión idéntica a que o cualquier otro, por favor, muéstreme cómo derivar la igualdad con los índices $n$ de $-\infty$ a $+\infty$ ? I... $+\infty$ -¡Gracias! ;-)

Answer 1

Se trata de $L^1({\mathbb Z}^2,\#)$ .

Cuando $S$ es un conjunto contable ( $S={\mathbb Z}^2$ en nuestro ejemplo) una función $f:\ S\to{\mathbb C}$ es sumable cuando $$\sup_{J\subset S,\ J\ {\rm finite}}\sum_{x\in J} |f(x)|<\infty\ .$$ Si este es el caso, entonces se deduce de la integridad de ${\mathbb C}$ que hay un único $s\in{\mathbb C}$ con la siguiente propiedad: Para cada $\epsilon>0$ existe un conjunto finito $J_0\subset S$ tal que para todos los conjuntos finitos $J$ con $J_0\subset J\subset S$ uno tiene $$\left|\sum_{x\in J}f(x)-s\right|<\epsilon\ .$$ Denote este número $s$ por $\int_Sf$ .

Dadas dos series complejas absolutamente convergentes $$\sum_{k\in{\mathbb Z}}a_k=:A, \quad \sum_{k\in{\mathbb Z}}b_k=:B$$ es fácil comprobar que $$f:\ {\mathbb Z}^2\to{\mathbb C},\qquad(j,k)\mapsto a_j\>b_k$$ es sumable y que $$\int_{{\mathbb Z}^2}f=A\cdot B\ .$$ Por otro lado, para los sumables $f$ tenemos un teorema de Fubini: Supongamos que $f$ es sumable sobre $S$ y que $S=\bigcup_{\iota\in I} S_\iota$ es cualquier partición (quizás infinita) de $S$ . Entonces $$\int_S f=\sum_{\iota\in I} s(\iota)\ ,$$ donde $$s(\iota)=\int_{S_\iota} f\ .$$ Ahora aplique esto a la partición $${\mathbb Z}^2=\bigcup_{n=-\infty}^\infty\bigl\{(n-k,k)\>|\> k\in{\mathbb Z}\bigr\}\ .$$

Answer 2

Como las series son absolutamente convergentes, entonces también lo son $a(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n}$ y $b(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}b_{n}z^{n}$ absolutamente convergente para $|z|=1$ . Por lo tanto, lo siguiente también es absolutamente convergente para $|z|=1$ : $$a(z)b(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n}b_{m}z^{m}.$$ Así que es permisible reordenar arbitrariamente los términos de la serie, sin cambiar el valor de la suma. En particular, se pueden juntar todas las potencias similares de $z$ sin cambiar el valor de la suma. El coeficiente de $z^{k}$ es $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}b_{k-n}$ porque $n+(k-n)=k$ . Por lo tanto, $$a(z)b(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}b_{k-n}\right]z^{k}.$$ Los poderes de $z$ se introdujeron sólo para ilustrar cómo recoger los términos, y para saber que ninguno de los términos se omitió en la suma final. Por último, el conjunto $z=1$ .