Relación de recurrencia con la forma cerrada de la función generadora

Question

Tengo la siguiente relación de recurrencia: $$a_n=F_0a_{n-1}+F_1a_{n-2}+F_2a_{n-3}...+F_{n-1}a_0 $$ con $a_0=5$ y $F_n$ siendo el enésimo número de Fibonacci. ¿Cómo puedo encontrar la forma cerrada de la función generadora de esto? La secuencia de Fibonacci me confunde mucho y no sé por dónde empezar.

Answer 1

Dejemos que $$f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n\, x^n. \tag{1}$$ Desde entonces: $$g(x)=\sum_{n\geq 0}F_n\,x^n = \frac{x}{1-x-x^2}\tag{2}$$ y, para cada $n\geq 1$ : $$ [x^n](f(x))=a_n=F_0 a_{n-1}+\ldots F_{n-1} a_0 = [x^{n-1}]\left(f(x)\cdot g(x)\right)\tag{3}$$ tenemos (multiplicando ambos lados de la línea anterior por $x^{n-1}$ y sumando sobre $n\geq 1$ ): $$ \frac{f(x)-5}{x}=f(x)\cdot g(x)\tag{4}$$ de lo que se deduce que:

$$ f(x) = 5\cdot\frac{1-x-x^2}{1-x-2x^2}.\tag{5}$$