¿Por qué es válida la siguiente solución al sistema de ecuaciones complejas dado?

Question

La pregunta que se plantea es - cuál es el valor del número complejo z si satisface el siguiente sistema de ecuaciones [w representa cualquier número complejo]:

$z^3 + \overline{w}^{7} = 0$

$z^5w^{11} = 1$

Aquí, entiendo que si un número complejo = otro número complejo, el módulo y los argumentos son iguales y usando esta lógica resolví la pregunta de la siguiente manera:

$z^3 = -\overline{w}^{7}$

$|z|^3 = |w|^7$

$7arg(w) = \pi - 3arg(z)$

$arg(w) = \frac{\pi - 3arg(z)}{7}$

$|z|^5|w|^{11} cis(5arg(z) + 11arg(w)) = 1$

$|z|^5|w|^{11} cis(\frac{11\pi + 2arg(z)}{7}) = 1cis(0)$

$|z|^5|w|^{11} = 1$

$|z| = |w| = 1$

$11\pi = -2arg(z)$ o $9\pi = -2arg(z)$

$arg(z) = -\frac\pi2$ o $arg(z) = \frac\pi2$

por lo que z = i, -i

Esta es una solución válida. Sin embargo, la forma en que lo hizo el libro parece más rápida pero no la entiendo. Su solución es la siguiente:

$|z|^3 = |w|^7$

$|z|^5|w|^{11} = |1|$

$|z| = |w| = |1|$

Hasta aquí todo bien. Todos los pasos indicados son claros. Pero entonces, para encontrar el argumento hacen lo siguiente -->

$\overline{w}^{77} . w^{77} = -z^{33}.z^{-35}$

$z^2 = -1$

z = +i, -i

¿Podría alguien orientarme sobre cómo se obtienen las ecuaciones después del comentario? Cualquier ayuda se agradecería. Gracias.

Answer 1

La ecuación se obtiene multiplicando lo siguiente:

• $z^3 + \bar{w}^{7} = 0 \implies \bar{w}^{7} = -z^3 \implies \left(\bar w^7\right)^{11} = \left(-z^3\right)^{11} \implies \bar w^{77} = -z^{33}$

• $z^5w^{11} = 1 \implies w^{11} = z^{-5} \implies \left(w^{11}\right)^7 = \left(z^{-5}\right)^7 \implies w^{77} = z^{-35}$