$ \iint_{D} |f(x,y)|\,dx\,dy$ no es finito y $ \iint_{D} \sqrt{|f(x,y)|}\,dx\,dy$ es finito.

Question

Dejemos que $$f:D=[-1,1]\times [-1,1]\to \mathbb{R},~ (x,y)\mapsto \begin{cases}\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0)\end{cases}. $$

He comprobado que esta función no es continua en $(0,0)$ y sus derivadas parciales en $(0,0)$ no existe. Ahora necesito demostrar las siguientes cosas:

1. $\displaystyle \iint_D|f(x,y)|~dxdy$ no es finito y
2. $\displaystyle \iint_D\sqrt{|f(x,y)|}~dxdy$ es finito.

Puedo escribir $$f(x,y) = \dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}\right). $$ Pero, ¿cómo puedo resolver esto, ya que podría estallar en el dominio?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

$g(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ no es integrable en $(0,1)^2$ (es un célebre ejemplo de la fracaso del teorema de Fubini ), pero

$$ \iint_{(0,1)^2}|g(x,y)|\,dx\,dy = 2\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=2\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x}=+\infty$$ y

$$ \iint_{(0,1)^2}\sqrt{|g(x,y)|}\,dx\,dy = 2\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\sqrt{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}}\,dy\,dx=2\int_{0}^{1}\frac{\pi}{2}(\sqrt{2}-1)=\pi(\sqrt{2}-1).$$

Answer 2

Pista: Debido a la simetría del problema, podemos decir que

$$\iint_D g(x,y)\:dA = 8 \int_0^1 \int_0^x g(x,y) \:dy\:dx$$

¿Puedes calcular las integrales desde aquí?