Cómo actúa el grupo de Lorentz sobre un vector 4 en el formalismo espinor-helicidad $p_{\alpha\dot{\alpha}}$ ?

Question

Dado un vector 4 $p^\mu$ el grupo de Lorentz actúa sobre él en la representación vectorial: $$\tag{1} p^\mu \longrightarrow (J_V[\Lambda])^\mu_{\,\,\nu} p^\nu\equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu} p^\nu.$$ Sin embargo, siempre puedo representar un vector 4 $p^\mu$ utilizando índices de espinores de izquierda y derecha, escribiendo $$\tag{2} p_{\alpha \dot{\alpha}} \equiv \sigma^\mu_{\alpha \dot{\alpha}} p_\mu.$$ Así que la pregunta es: en qué representación actúa el grupo de Lorentz en $p_{\alpha \dot{\alpha}}$ ?

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Hay un montón de preguntas sobre este tema y otros relacionados en physics.se, con un montón de excelentes respuestas, así que permítanme aclarar más específicamente lo que estoy pidiendo.

Ya sé que la respuesta a esta pregunta es que la ley de transformación es $$\tag{3} p_{\alpha \dot{\alpha}} \rightarrow (A p A^\dagger)_{\alpha\dot{\alpha}}$$ con $A \in SL(2,\mathbb{C})$ (cómo se menciona, por ejemplo, en esta respuesta de Andrew McAddams ). También entiendo que $$\tag{4} \mathfrak{so}(1,3) \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),$$ (que se explica por ejemplo aquí por Edward Hughes, aquí por joshphysics, aquí de Qmechanic).

¿Qué es lo que falta? En realidad, no mucho. Dos cosas:

1. ¿Cómo puedo obtener (3) y cuál es la forma específica de $A$ es decir, su relación con la representación vectorial $\Lambda^\mu_{\,\,\nu}$ ? Definir lo siguiente $$(\tilde p) \equiv p^\mu, \qquad \Lambda \equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu},$$ $$\sigma \equiv \sigma_{\alpha \dot \alpha}, \qquad \hat p \equiv p_{\alpha \dot \alpha},$$ podemos reescribir (1) y (2) en forma de matriz como $$\tag{5} \hat p \equiv \sigma \tilde p \rightarrow \sigma \Lambda \tilde p = ( \sigma \Lambda \sigma^{-1}) \hat p,$$ sin embargo, esto está en desacuerdo con (3) lo que sé que es correcto ¿Qué hay de malo en mi razonamiento?

2. ¿Por qué la ley de transformación (3) tiene una forma $$\tag{6} A \rightarrow U^{-1} A U,$$ mientras que la transformación vectorial habitual (1) tiene una forma $V \rightarrow \Lambda V$ ? Sospecho que esto viene de una razón similar a la explicada aquí por Prahar, pero agradecería una confirmación al respecto.

Answer 1

Su ecuación (3) proviene de los siguientes pasos. Primero, un índice con puntos se transforma en la representación compleja conjugada de un índice sin puntos. Para un producto tensorial, cada índice se transforma según su propia representación. Así, $$p_{a\dot a} \mapsto A_{ab} \bar A_{\dot a \dot b} p_{b\dot b} = A_{ab} p_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a}$$ donde a la izquierda del signo igual tenemos la conjugación compleja elemental. Poniendo la matriz conjugada a la derecha tenemos que tomar una transposición para obtener el orden de los índices correcto.

Al razonar sobre (4) y (5) estás descuidando la transformación de $\sigma^\mu_{a\dot a}$ . La descripción correcta de la relación $p_{a\dot a} = \sigma^\mu_{a\dot a} p_\mu$ es que la representación de 4 vectores es equivalente a la $(\frac 1 2,0)\otimes(0,\frac 1 2)$ representación, mediante la transformación lineal $$\sigma^\mu_{a \dot a} : V\to (\frac12,0)\otimes(0,\frac12)$$ lo que significa que $\sigma^\mu_{a\dot a}$ pertenece al espacio $(\frac 1 2,0)\otimes (0,\frac12) \otimes V^*$ sobre el que actúa el grupo de Lorentz (de doble cobertura). De hecho, actúa como $$\sigma^\mu_{a\dot a} \mapsto A_{a\dot b} \sigma^\nu_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a} (\Lambda^{-1})_\nu^\mu$$ para que $A^\mu_{a \dot a} p_\mu$ efectivamente tiene la ley de transformación correcta.