¿Por qué la rama "típica" de $\text{log}\ z$ tienen la propiedad $-\pi \lt Im(\text{log}\ z) = Arg\ z \lt \pi$ ?

Question

Estoy leyendo la definición de la rama analítica "típica" de $\text{log}\ z$ que mi libro da para ser:

$$f(z) = \int_{1}^{z}{\frac{d\zeta}{\zeta}}$$

Mi libro establece esta rama analítica en todo el plano complejo menos el eje real no positivo: $x \leq 0$ . También afirma que lo siguiente es cierto:

$$-\pi \lt \text{Im(log }z\text{)} = \text{Arg }z \lt \pi$$

La justificación de esto es: "Esto se puede ver integrando de 1 a |z| y de |z| a z"

No entiendo cómo esto justifica la desigualdad. ¿Puede alguien explicarlo? Gracias.

Answer 1

Lo primero que hay que tener en cuenta es que el RHS de la identidad que "define" $f(z)$ no especifica un número complejo único. Por ejemplo, la ruta que comienza en $1$ y recorriendo el círculo unitario en dirección ENWS hasta llegar a $i$ y el camino que comienza en $1$ y recorriendo el círculo unitario en la dirección ESWN hasta llegar a $i$ dan dos valores diferentes. Por lo tanto, no se pueden permitir todos los caminos.

El milagro es que prohibir los caminos para encontrar el rayo $\{z\in\mathbb C\mid\Re(z)\leqslant0,\Im(z)=0\}$ es suficiente para determinar de forma única el RHS. Nótese que hay muchas otras formas de determinar de forma única el RHS, se puede prohibir cualquier rayo que parta de $0$ o incluso cualquier camino inyectivo que comience en $0$ y que va hasta el infinito (por ejemplo una espiral como $s:\mathbb R\to\mathbb C$ , $t\to s(t)=\mathrm e^{(1+\mathrm i)t}$ ...).

Esto se puede ver[n] integrando de 1 a |z| y de |z| a z

De hecho, el camino desde $1$ a $|z|$ está parametrizado por $\zeta=t$ , $t$ real que va desde $1$ a $r=|z|$ por lo que la integral correspondiente $g(z)=\int_1^r\frac{\mathrm dt}t$ es real. La segunda parte, de $|z|$ a $z$ está parametrizado por $\zeta=r\mathrm e^{it}$ , $r=|z|$ , $t$ pasando de $0$ a $\theta=\mathrm{Arg}(z)$ . Entonces $\mathrm d\zeta=ir\mathrm e^{it}\mathrm dt=i\zeta\mathrm dt$ por lo que esta parte de la integral se lee $h(z)=\int_0^\theta i\mathrm dt=i\theta$ . Finalmente, $f(z)=g(z)+h(z)$ con $g(z)$ puramente real y $h(z)$ puramente imaginario, por lo que $\Re f(z)=g(z)=\log r=\log|z|$ y $\Im f(z)=\Im h(z)=\theta=\mathrm{Arg}(z)$ .