Transversal e intersección de dos foliaciones

Question

Dejemos que $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ sean dos foliaciones de una colecta. Decimos que $\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$ si $T_p L^{(1)}+T_pL^{(2)}=T_p M$ para cualquier $p\in M$ , donde $L^{(1)}$ y $L^{(2)}$ son las hojas de canalización $p$ .

Ahora bien, si tenemos eso $\mathcal{F_1}\pitchfork \mathcal{F}_2$ definimos $\mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2$ para ser la foliación donde las hojas son los componentes conectados de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$ . Ahora queremos comprobar que es una foliación con codimensión la suma de las codimensiones de $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ .

Creo que la idea es utilizar el teorema de la función implícita pero no consigo concretar nada. Es decir tomar gráficos foliados para $\mathcal{F}_1$ , $(x_1,...,x_k,y_1,...,y_{m-k})$ y cartas foliadas para $\mathcal{F}^2$ , $(w_1,...,w_k',z_1,...,z_{m-k'})$ tal que $p\cap L^{(1)}\cap L^{(2)}=\{p\in U: y_1(p)=ct,...,y_{m-k}(p)=ct,z_1(p)=ct,...,z_{m-k'}(p)=ct\}$ . Ahora, a partir de esto, he intentado construir un nuevo gráfico de coordenadas para obtener el resultado, pero no he conseguido nada.

Se agradece cualquier ayuda o sugerencia al respecto. Gracias de antemano.

Intento de solución :

Lo primero que observamos es que desde $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{F}_2$ son foliaciones tendremos que las hojas de esta nueva foliación cubrirán $M$ son disjuntos, ya que estamos tomando las componentes conectadas, y estarán conectados por el camino, ya que estamos tomando las componentes conectadas y $M$ está localmente conectada por un camino. Ahora necesitamos encontrar las cartas foliadas de $\mathcal{F}$ y comprueba su dimensión. Deja que $p\in M$ , tenga en cuenta que, dado que $L^{(1)}$ y $L^{(2)}$ son transversales tendremos que $L^{(2)}\cap L^{(1)}$ es un submanifold de $L^{(1)}$ Utilizando la forma normal local sabemos que existe un conjunto abierto de $p\in L^{(2)}, U,$ y la carta de coordenadas $(V,\phi)=(V,x_1,...,x_k)$ para $L^{(1)}$ tal que $U\cap L^{(1)}=\{p\in V : x^{k'}(p)=...=x^k(p)=0\}$ , donde $k'=dim L_1 -(dim L_1 + dim L_2 -dim M)= codim \mathcal{F}_2$ . Ahora bien, obsérvese que la forma en que dimos la estructura del colector a $L^{(1)}$ fue que la topología fue generada por las placas $L^{(1)}\cap U'$ donde $U'$ era una carta foliada para $p$ y la carta de coordenadas era la restricción de la carta foliada a las componentes no constantes. Así que tenemos el $(x_1,...,x_k)$ se asocian a un gráfico de $M$ , $(x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ tal que las componentes conectadas de $L^{(1)}\cap U'$ son de la forma $\{p\in U' : y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct\}$ . Ahora tenemos $U$ es una placa para $U''\cap L^{(2)}$ . También sabemos que $p$ estará en un componente conectado de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$ que ahora denotamos por $L$ . Si consideramos que la carta foliada es $(W:=U'\cap U'',x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ tendremos que las componentes conectadas de $W\cup L$ son de la forma $\{p\in W: y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct,x^{k-k'}(p)=,...,x^k(p)=0\}$ . Para ver la afirmación sobre la dimensión observamos que $codim \mathcal{F}_1+ dim L^{(1)}-(dim L^{(1)}+dim L^{(2)}-dim M)=codim\mathcal{F}_1 +codim \mathcal{F}_2 $ .

Answer 1

Aquí hay, creo, una respuesta. Dejemos que $\mathcal{D}_1$ sea la ditribución tangente de la foliación $\mathcal{F}_1$ y $\mathcal{D}_2$ los de $\mathcal{F}_2$ . Estas distribuciones son totalmente integrables, es decir $[\mathcal{D}_i,\mathcal{D}_i]\subset \mathcal{D}_i$ . Dejemos que $\mathcal{D} = \mathcal{D}_1\cap \mathcal{D}_2$ sea la distribución de la intersección. Tiene un rango constante ya que en cualquier $p\in M$ , $\dim\mathcal{D}_p = \dim\left({\mathcal{D}_1}_p\cap{\mathcal{D}_2}_p\right)=\dim{\mathcal{D}_1}_p+\dim{\mathcal{D}_2}_p-\dim\left({\mathcal{D}_1}_p+{\mathcal{D}_2}_p\right)$ y luego $\mathrm{codim}\mathcal{D}_p = \mathrm{codim}{\mathcal{D}_1}_p + \mathrm{codim}{\mathcal{D}_2}_p$ (recordemos que $\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$ )

Ahora, demostremos que $\mathcal{D}$ es integrable, es decir $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$ . Dejemos que $X,Y$ sean campos vectoriales en $\mathcal{D}$ . Como $\mathcal{D}\subset \mathcal{D}_1$ , $[X,Y]$ está en un campo vectorial en $\mathcal{D}_1$ . Simétricamente, es un campo vectorial en $\mathcal{D}_2$ . Entonces, es un campo vectorial en $\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \mathcal{D}$ y $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$ . Por el teorema de Frobenius, existe una foliación $\mathcal{F}$ ese haz tangente es $\mathcal{D}$ . Los submanifolds integrales son las intersecciones de las hojas de las foliaciones anteriores.