Encontrar el rango de una función con derivadas

Question

Tenemos una función tal que $$f(x):[0,1] \mapsto R$$ f(x) es dos veces diferenciable y también $ f(0) =0=f(1) $ y también satisface $$f''(x)-2f'(x) +f(x) \ge e^x $$ donde x pertenece a [0,1] por lo que cuál es el rango de f(x) en este intervalo. Por Rolle sabemos que si la función es derivable entonces en al menos un punto de $[0,1]$ su derivada será cero y $0$ es el máximo o el mínimo de la función. Por lo tanto, $$f''(x) +f(x) \ge 0$$ y también $$f''(x) +f(x) \ge e$$ Ahora bien, si podemos conocer el signo de $f''(x)$ podemos encontrar la concavidad de la función y finalmente tener una idea de su rango, entonces ¿cómo encontramos su signo?

Answer 1

Una pista:

Toma $F(x) = f(x)e^{-x}$ entonces tenemos $F(0) = F(1) = 0$ y

$$F''(x) = (f''(x) - 2f'(x) + f(x))e^{-x} \geq 1$$

desde $f''(x) - 2f'(x) + f(x) \geq e^x$

Así que $F(x)$ es convexo y...