El cubo de Newton, la gravedad artificial, la rotación absoluta y el principio de Mach

Question

He estado tratando de entender cómo podemos hablar de rotación absoluta en la relatividad general. Entiendo que es un área de debate activo con algunos adherentes de Principio de Mach y otros que creen que simplemente existe la rotación absoluta. Creo que la mejor manera de afrontar la cuestión es intentar trabajar con la situación más sencilla que se me ocurra, y me parece que el Principio de Mach no puede sobrevivir a esta situación. Así que aquí está el experimento mental:

Estás en una nave espacial con simetría cilíndrica sin ningún otro objeto en el universo. Empiezas con todo en reposo: no sientes ninguna fuerza, el movimiento está descrito por la métrica de Minkowski. A continuación, se pone en marcha un gran volante de inercia en el centro de la nave que gira con bastante rapidez. Para preservar el momento angular, la nave girará en la dirección opuesta. Ahora giras con la nave, por lo que sientes una "gravedad artificial", una fuerza que te obliga a desplazarte hacia el borde exterior de la nave (lo que se llamaría clásicamente una fuerza centrífuga).

Podemos realizar un experimento fácil que parece demostrar que estamos girando y en qué dirección: basta con lanzar una pelota en cada dirección tangencial, una caerá más despacio y otra caerá más rápido que una pelota suelta. Pero dado un marco relativista parece de mal gusto apelar a un espaciotiempo absoluto respecto al cual estamos girando, así que ¿por qué no podemos afirmar que nosotros en la nave espacial estamos en reposo y el volante en el centro está girando muy rápidamente? ¿Existe alguna forma de escribir un tensor de tensión-energía que describa con exactitud el movimiento en la nave espacial sin afirmar un "marco no rotatorio" distinto? Los maquiavélicos parecen poder evitar la rotación absoluta afirmando que toda rotación es relativa a cuerpos distantes, pero sin ningún otro cuerpo en el universo, ¿cuál es nuestra referencia? Esto lleva a algunos a concluir que El cubo de Newton no haría que la superficie del agua se volviera cóncava por la "rotación" en un universo sin otros cuerpos, pero en nuestro universo empezamos con un barco estacionario, en un marco en el que podíamos utilizar la métrica de Minkowski. La transformación de la métrica en el nuevo marco (relativamente giratorio) predeciría un movimiento geodésico que daría los efectos de la "gravedad artificial", por lo que claramente debe haber efectos de rotación en juego en este ejemplo. Pero si hubiera un observador que sólo existiera después de que la nave hubiera empezado a girar, no podría saber que en el pasado tanto la nave como la rueda habían estado en reposo relativo y se aplicaba la métrica de Minkowski, así que cómo podría tener una referencia para la rotación.

La única manera en que todo esto me parece posible de explicar es afirmando una rotación absoluta que no está en referencia a ningún otro cuerpo. ¿Cómo puede sobrevivir a esto el Principio de Mach? ¿Existe una forma válida de escribir un tensor de tensión-energía en un sistema cooridinado que "piense" que la nave espacial está en reposo y que el volante de inercia en rotación y/o la energía de la masa de la nave dan todos los efectos impar que quisiéramos atribuir a la rotación? Más sencillamente: ¿hay alguna manera de pensar que la nave espacial no gira?

Me inclino por que la rotación absoluta no puede ser correcta, ya que parece que nos devuelve a los días anteriores a Einstein, pero las conclusiones parecen difíciles de escapar.

Answer 1

Me inclino por que la rotación absoluta no puede ser correcta, ya que parece que nos devuelve a los días anteriores a Einstein, pero las conclusiones parecen difíciles de escapar.

No, esto es sólo un prejuicio filosófico, que no se ve corroborado en absoluto por las matemáticas reales.

En los primeros tiempos, se pensaba que la velocidad era absoluta. Luego llegó la relatividad galileana y dijo lo contrario. Si uno no prestara atención, podría pensar que la relatividad galileana significa nada es absoluta: es decir, "la aceleración absoluta no puede ser correcta porque parece que nos devuelve a los días anteriores a Galileo". Pero eso simplemente no es cierto. No se puede decir que porque una cosa no es absoluta, otra completamente diferente tampoco lo es, eso es filosofar de forma perezosa.

Lo mismo ocurre con la velocidad angular. Se podría argumentar que la velocidad angular también se llama velocidad, por lo que tiene que ser relativa como la velocidad lineal. Pero ese es un parecido bastante superficial. En mi opinión, la velocidad angular no es una velocidad en absoluto, sino un tipo particular de aceleración periódica. Y sabemos que la aceleración es absoluta.

Dicho de otro modo: salimos a observar ciertas simetrías del universo. La invariancia de traslación nos dice que la posición no es absoluta, la invariancia de impulso nos dice que la velocidad no es absoluta y la invariancia de rotación nos dice que la orientación angular no es absoluta. No existe tal simetría observada para la velocidad angular.

¿Hay alguna manera de escribir un tensor de tensión-energía que describa con precisión el movimiento en la nave espacial sin reclamar un "marco no rotatorio" distinto? [...] Si hubiera un observador que sólo existiera después de que la nave hubiera empezado a girar, no podría saber que en el pasado tanto la nave como la rueda habían estado en reposo relativo y se aplicaba la métrica de Minkowski, así que cómo podría tener una referencia para la rotación.

En el formalismo de la relatividad general, la estructura de los marcos giratorios y no giratorios ya está puesta desde el principio, en la forma de la conexión Levi-Civita. Esto es anterior a la noción de cualquier observador o cualquier contenido de materia particular. Esto hace que la relatividad general no obedecen al principio de Mach, aunque al propio Einstein no le gustaba esto.

En concreto, supongamos que estamos en el espaciotiempo de Minkowski, donde la conexión es plana. Un marco inercial es aquel en el que los coeficientes de conexión son todos cero. Esto se conserva con las transformaciones de Lorentz, pero no al pasar a un marco de rotación. Dado que los coeficientes de conexión pueden medirse localmente, un observador puede encontrar qué marcos son inerciales aunque no tenga ninguna referencia angular. (El tensor tensión-energía se encuentra de la forma habitual, pero su ley de conservación $D_\mu T^{\mu\nu} = 0$ depende directamente de la conexión. Lo mismo ocurre con la ecuación geodésica).