¿Qué variedades riemannianas son libres de escala?

Question

Llamemos a una variedad riemanniana $(M,g)$ sin escala si para cualquier escalar real positivo $\lambda$ , $(M,g),(M,\lambda g)$ son isométricos.

$\mathbb{R}^n$ con la métrica estándar $g$ es libre de escala. (A través del mapa $\phi(x)=\sqrt \lambda x$ ).

¿Qué otras variedades riemannianas no tienen escala? En particular, ¿es cierto que todas las variedades planas no compactas no tienen escala?

¿Existen colectores no planos sin escala?

Observaciones:

(1) Como señaló Phillip Andreae, una variedad compacta nunca puede ser libre de escala, ya que al escalar la métrica cambia el volumen.

(2) Dado que la curvatura escalar escala por a proporción inversa ( $\tilde{K} = \lambda^{-1} K$ si $\tilde{g} = \lambda g$ ) y es un invariante isométrico esto impone una limitación en la clase de las variedades libres de escala. (Por ejemplo, ninguna variedad de curvatura seccional constante y no nula puede pertenecer a ella).

Me parece que se supone que los valores de la curvatura seccional se "extienden uniformemente" en algún sentido. (Si el colector es compacto el volumen de los puntos con valor específico $k$ de la curvatura escalar depende sólo de $\text{sign}(k)$ ?)

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Además, ¿qué cambia si sólo exigimos la existencia de 2 escalas diferentes para ser isométricos?

Answer 1

Aquí hay una manera de construir un montón de ejemplos no planos. Dejemos que $(\widehat M,\widehat g)$ sea cualquier variedad riemanniana, y defina una métrica $g$ en $M = \mathbb R^+\times \widehat M$ por $$ g = dt^2 + t^2 \hat g, $$ donde $t$ es la coordenada estándar en $\mathbb R^+$ . Entonces, para cada $\lambda>0$ el mapa $\phi_\lambda\colon M\to M$ dado por $\phi_\lambda (t,x) = (t\sqrt{\lambda},x)$ es una isometría de $(M,\lambda g)$ a $(M,g)$ .

Tenga en cuenta que estas métricas pueden ser planas: Por ejemplo, si $(\widehat M,\widehat g)$ es la ronda estándar $n$ -esfera, entonces $(M,g)$ es isométrica con respecto a $\mathbb R^{n+1}\smallsetminus\{0\}$ con su métrica euclidiana. Si $(\widehat M,\widehat g)$ es un círculo de radio inferior a $2\pi$ entonces $(M,g)$ es un cono plano. Pero típicamente, $(M,g)$ no será plana.

Creo que hay una posibilidad razonable de que cada ejemplo sea o bien plano $\mathbb R^n$ o de este tipo, pero no veo la manera de demostrarlo.

En cuanto a tu última pregunta (qué cambia si sólo exigimos la existencia de 2 escalas diferentes para ser isométricos), no tengo ni idea.