Cada función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es continua?

Question

Esta es una pregunta que surgió como verdadero falso en mi libro de texto, y me preguntaba qué pensaba de mi razonamiento. Afirmo que aunque la gráfica de dicha función no parezca continua, que por la definición secuencial de continuidad, que la función es continua.

Según el libro de texto, una función $f:D \to R$ se dice que es continua en el punto $x_0$ siempre que $\{x_n\}$ es una secuencia en $D$ que converge a $x_0$ la secuencia de imágenes $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x_0)$ . Se dice que la función es continua si esto se cumple para todo $x \in D$ .

Parece que según esta definición, una función $f:\mathbb N \to \mathbb R$ sería continua. En términos generales, una secuencia de números naturales tiene que ser eventualmente constante para ser convergente (es decir, {1,2,3,4,5,5,5,5,...}), ya que la menor diferencia entre números naturales es $1$ y podemos elegir $0 < \epsilon <1$ .

Por lo tanto, la secuencia de imágenes también será finalmente constante, por lo que no importa lo que $\epsilon$ que elijamos, siempre podremos encontrar un índice $N$ tal que $f(x_n) - f(x_0) = 0 < \epsilon$ para todos los índices $n \geq N$ . Por lo tanto, siempre podemos cumplir el requisito de convergencia de $f(x_n) \to f(x_0)$ y por lo tanto $f$ es continua.

¿Qué pensáis todos?

Answer 1

Tu razonamiento es correcto. Voy a explicar la forma más popular de hacer las cosas. Hay muchas versiones de la definición de continuidad. He aquí algunas de ellas: $(X,d_x)$ , $(Y,d_y)$ espacios métricos, $f:X \rightarrow Y$ es continua en $x \in X$ si

(1) $\forall \epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que para todo $y \in X$ tal que $d(x,y) < \delta$ tenemos $d(f(x),f(y)) < \epsilon$

(2) Para cualquier secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ convergiendo a $x$ tenemos $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$

(Si no sabes lo que es un espacio métrico, es un conjunto dotado de una "función de distancia" d. En tu caso $X = \mathbb{N}$ y $d$ se puede elegir entre algunas opciones).

Desde una perspectiva topológica también tenemos, dado $f:X \rightarrow Y$ , $f$ es continua si para todo conjunto abierto $\Omega \subset Y$ tenemos $f^{-1}(\Omega) \subset X$ también está abierto. La definición topológica es la más agradable para establecer su afirmación. $N$ suele estar dotado de la topología discreta: $d(x,y) = 1$ si $x\neq y$ , $d(x,y) = 0$ si $x=y$ . Elección de $\delta = 1/2$ es fácil demostrar que cada subconjunto de $N$ está abierto. Según la definición anterior, cualquier función sobre $\mathbb{N}$ es continua.

Un "espacio discreto" suele definirse como aquel en el que todo subconjunto es abierto, por lo que toda función es continua. Algunos bonitos son $\mathbb{Z}^n$ grupos abelianos finitamente generados, etc.