Las cantidades invariantes son ridículamente útiles para resolver ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, si un asteroide se mueve alrededor del sol, se moverá en un plano. Podemos describir su posición en términos de una distancia $r(t)$ del sol y un ángulo $\theta(t)$ al dar la vuelta al sol. Las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de este asteroide son $$ r'' = - \frac{\gamma}{r^2} + r (\theta')^2 $$ y $$ \theta'' + 2 r' \theta' = 0. $$
Se trata de EDOs acopladas y no lineales, y lo tendrías difícil si quisieras escribir una solución directamente a partir de estas ecuaciones. Pero el sistema tiene dos invariantes que facilitan mucho las cosas. En primer lugar, la segunda ecuación implica que $r^2 \theta'$ es una invariante del sistema; es (proporcional a) el momento angular . Si llamamos a esta constante $\ell$ entonces tenemos $\theta' = \ell/r^2$ lo que significa que nuestra primera ecuación se convierte en $$ r'' = - \frac{\gamma}{r^2} + r \left( \frac{\ell}{r^2} \right)^2 = - \frac{\gamma}{r^2} + \frac{\ell^2}{r^3}. $$ Esto ya es una simplificación; hemos pasado de un conjunto de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden parejas a una única ecuación diferencial de segundo orden. Además, se puede demostrar que otro invariante del sistema es la cantidad $$ e = \frac{1}{2} (r')^2 -\frac{\gamma}{r} + \frac{\ell^2}{2 r^2}. $$ (Ésta es proporcional a la del asteroide energía (cinética y potencial). Podemos reordenar esta ecuación para obtener $$ r' = \pm \sqrt{e + \frac{\gamma}{r} - \frac{\ell^2}{2r^2}} $$ que es una ecuación diferencial de primer orden simple y separable.
Puedes ver que al usar los invariantes, hemos pasado de un desagradable conjunto de ecuaciones acopladas a una ecuación que probablemente podrías haber resuelto después de tu primera semana de clase.
