Es $(W_{2t}-W_{t})_{t \geqslant0}$ ¿un movimiento browniano?

Question

$W_{t}$ - Proceso estocástico (movimiento browniano). Necesito comprobar si $ (W_{2t}-W_{t})_{t \geqslant0}$ es un movimiento browniano.

Miro la propiedad de incremento independiente. Quiero encontrar una contradicción para esta propiedad.

Así que $t>s\geqslant u$ para cualquier $s$ y $u$ que son menores, menores e iguales, respectivamente.

Así que miro: $$cov(W_{2t} - W_t - W_{2s} - W_s, W_{2u} - W_u) = cov(W_{2t} - W_t,W_{2u} - W_u) - cov(W_{2s} - W_s,W_{2u} - W_u)$$

si supongo que $t > 2u$ entonces puedo decir que mi primera covarianza es $0$ debido a la independencia de los incrementos.

Entonces sólo me queda:

$$ = 0 - cov(W_{2s} - W_s,W_{2u} - W_u) $$ que es sin duda un intervalo de solapamiento. Así que tienen $cov \neq 0 $ o simplemente si pongo $s = u$ entonces $cov = s=u$

¿Es correcto?

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Una pregunta más:

¿Puedo comprobar el $(W_{2t}-W_{t}) - (W_{2s}-W_{s})$ es $N(0,\text{smth})$ ? o no? ¿Por qué no?

Por qué lo pregunto, yo escribí eso $W_{2t}-W_{t}$ $N(0,t)$ , lógicamente $W_{2s}-W_{s}$ $N(0,s)$ , por lo que la diferencia es $N(0,t+s)$ (por diferencia en la normal r v). PERO

Si reordeno de otra manera, que también parece estar bien, $(W_{2t}-W_{2s}) - (W_{t}-W_{s})$ Me sale $N(0,3t-3s)$ .

Esto es una tontería: tengo 2 distribuciones diferentes. Pero, ¿qué ley rompo cuando hago tales cálculos?

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Y la última pregunta: supongamos que tengo un proceso estocástico $(-W_{t})_{t \geqslant0}$ .

La propiedad que $W_{t}-W_{s}$ es $N(0,t-s)$ en nuestro caso se mantiene:

$W_{s}-W_{t}$ tiene $-N(0,t-s)$ que es $N(0,t-s)$ como la distribución normal es simétrica? ¿Es correcto?

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He copiado de la wiki:

Los resultados para la expectativa y la varianza se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal, centrada en cero. Así, $W_t = W_t-W_0 \sim N(0,t)$ Esto lleva a lo siguiente. ¿Cada elemento de este proceso estocástico se distribuye normalmente? Me estoy confundiendo como $W_t \sim N(0,t)$ de la fórmula anterior.

Answer 1

Hay una solución algo más sencilla. Dejemos que $Z_t:= W_{2t}-W_t$ .

Si $(Z_t)$ fuera un movimiento browniano, entonces sería cierto que $cov(Z_t, Z_s) = s \wedge t$ para todos $s,t \geq 0$ . Pero, como se puede comprobar, esto falla cuando $s=1$ y $t=\frac{3}{2}$ ya que $cov(Z_1,Z_{3/2})=1/2 \neq 1$ .

En general, debe recordar que un Proceso Gaussiano con trayectorias continuas está completamente determinado (en la distribución) por sus medias y sus covarianzas. Para un Movimiento Browniano, las medias son $0$ y las covarianzas son $s \wedge t$ .

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Para responder a su segunda pregunta: sí, es cierto que $(W_{2t}-W_t)-(W_{2s}-W_s)$ se distribuye normalmente. Para demostrarlo, supongamos $s<t$ sin pérdida de generalidad.

Cuando $2s\leq t$ nota que $W_{2t}-W_t$ y $W_{2s}-W_s$ son normales independientes con varianzas $t$ y $s$ respectivamente, y por tanto su diferencia es Normal con varianza $s+t$ .

Cuando $2s>t$ podemos escribir $(W_{2t}-W_t)-(W_{2s}-W_s) = (W_{2t}-W_{2s})-(W_t-W_s)$ y por independencia de los incrementos vemos de nuevo que se trata de una diferencia de dos Normales independientes con varianzas $2(t-s)$ y $t-s$ respectivamente, por lo que es Normal con varianza $3(t-s)$ .

Por lo tanto, las diferentes variaciones son el resultado de considerar dos casos distintos, $2s \leq t$ y $2s>t$ . Recuerde que los incrementos son independientes sólo cuando los intervalos no se superponen.

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Para responder a su última pregunta, sí.