Estoy tratando de entender una línea en una prueba específica, pero no estoy muy familiarizado con parte de la terminología. La prueba en cuestión es el lema 5 en la página 3 de Las contracciones a trozos son asintóticamente periódicas pero lo parafrasearé por conveniencia.
El resultado se refiere a la dinámica de una contracción a trozos en un disco en el plano $\mathbb{C}$ (es decir, el disco se divide en un número finito de $\{X_k\}_{k=1}^K$ tal que para cada $k$ , $G|_{X_k}$ es un mapa afín que contrae las distancias). Por lo tanto, el mapa continuo a trozos es:
$$ G(z):=G_k(z)=\lambda_k z + (1-\lambda_k)w_k:\text{ $ z \Nen X_k $} $$
Para $\lambda = (\lambda_1, \ldots,\lambda_K)\in \mathbb{D}^K$ ( $\mathbb{D}$ es el disco unitario) y $w = (w_1, \ldots,w_K)\in \mathbb{C}^K$ . Definir $S$ como la unión de los límites $\partial X_k$ de cada uno de los segmentos.
En un momento dado, en una prueba por contradicción, el autor muestra que hay alguna $x \in S$ tal que $G^{(r_i)}(x) \in S$ para $i \in \{1,2\}$ y $r_i \in \mathbb{N}$ . Es decir, hay un punto en los límites que se corresponde con otro punto en los límites al menos dos veces. (Página 3, última línea).
A continuación se argumenta que se trata de una contradicción al afirmar:
Esta es una condición que se da con codimensión positiva, por lo que para Lebesgue a.e. $w$ no se producirá.
Supongo que esto está afirmando algo así como que, dado que los límites son cortes unidimensionales en un plano bidimensional, no existe una secuencia finita de funciones afines que pueda mapear el conjunto de límites hacia sí mismo más de una vez.
Esperaba que alguien pudiera explicar con más detalle cuál es el argumento exacto, quizás con una referencia a una generalización a dimensiones superiores. Por el contexto: Estoy tratando de ver cómo aplicar el lema a un mapa de contracción a trozos de mayor dimensión pero idéntico en $\mathbb{R}^m$ con un conjunto conocido de intercepciones.
