Función característica de $\sum_{t=1}^N a_t X_t$ dadas ciertas condiciones de independencia

Question

Dejemos que $S=\sum_{t=1}^N a_tX_t$ donde cada $a_t$ es Bernoulli con probabilidad $\frac{1}{2}$ para $1$ y también $\frac{1}{2}$ para $0$ . Además, también se da que el vector $(a_1,\ldots,a_N)$ es independiente con el vector $(X_1,\ldots,X_N)$ ; $a_1,\ldots, a_N$ son mutuamente independientes; y $\{X_1,\ldots,X_N\}$ es una permutación aleatoria de $\{R_1,\ldots,R_N\}$ (cada uno $R_t$ es una constante (no aleatoria)). Estoy tratando de entender por qué es que $$ E[\exp(i\tau S)]=\left(\frac{1}{2}\right)^N\prod_{t=1}^N(1+\exp(i\tau R_t))\tag{$ * $}. $$

Estoy pensando que todas las condiciones de independencia nos permiten escribir $$ S=\sum_{t=1}^Nb_tR_t\tag{$ ** $} $$ donde $b_1,\ldots,b_N$ son i.i.d. Bernoulli con prob. $\frac{1}{2}$ para $1$ y $0$ . Si ( $**$ ) es verdadera, entonces ( $*$ ) sigue inmediatamente pero no sé cómo justificar ( $**$ ) o incluso estoy seguro de que ( $**$ ) es necesariamente verdadera.

( $*$ ) se afirma de pasada en mi lectura. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para concretar, dejemos que $\pi$ sea la permutación aleatoria tal que $X_t = R_{\pi(t)}$ . Entonces tenemos $$ S = \sum_{t=1}^N a_t X_t = \sum_{t=1}^N a_t R_{\pi(t)} = \sum_{t=1}^N a_{\pi^{-1}(t)} R_t. $$ Queda por demostrar que para cada $\pi$ el vector $(a_{\pi^{-1}(1)},\ldots,a_{\pi^{-1}(n)})$ tiene la misma distribución que $(a_1,\ldots,a_n)$ . Una forma de demostrarlo es calcular, para cada fijo $(b_1,\ldots,b_n) \in \{0,1\}^n$ , $$ \Pr[(\forall i) a_{\pi^{-1}(i)} = b_i] = \Pr[(\forall i) a_i = b_{\pi(i)}] = \frac{1}{2^n} = \Pr[(\forall i) a_i = b_i]. $$

Dejemos ahora $\Pi$ sea la ley de $\pi$ (que no tiene por qué ser la distribución uniforme sobre $S_N$ ). Entonces, para cada $s$ , $$ \begin{align*} \Pr[S = s] &= \sum_{\pi \sim \Pi} \Pr[\pi] \Pr[\sum_{t=1}^n a_{\pi^{-1}(t)} R_t = s] \\ &= \sum_{\pi \sim \Pi} \sum_{b_1,\ldots,b_n} \Pr[\pi] \Pr[(\forall t)a_{\pi^{-1}(t)} = b_t | \pi] \Pr[\sum_{t=1}^n b_t R_t = s] \\ &= \sum_{\pi \sim \Pi} \sum_{b_1,\ldots,b_n} \Pr[\pi] \Pr[(\forall t)a_t = b_t] \Pr[\sum_{t=1}^n b_t R_t = s] \\ &= \sum_{b_1,\ldots,b_n} \Pr[(\forall t)a_t = b_t] \Pr[\sum_{t=1}^n b_t R_t = s] \\ &= \Pr[\sum_{t=1}^n a_t R_t = s]. \end{align*} $$ La tercera igualdad se mantiene ya que el vector $(a_i)$ es independiente de $\pi$ .