Demostración de la fórmula de la integral de contorno como suma de Riemann

Question

Hace un par de días pregunté a un pregunta sobre las integrales complejas

La persona que me contestó me explicó que la integral del contorno $C$ definido por $(t),atb$ $ $ puede escribirse como sigue

$\int_Cf(z)dz$ es igual al límite como $n$ tiende a infinito de

$f(z_1)[z_1-z_0] + f(z_2)[z_2-z_1] + ... + f(z_n)[z_n-z_{n-1}]$

donde $z_n = $$ C $$(t_n)$ , $a = t_0<t_1<t_2<\cdots<t_n=b$

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El problema con esto último es que implica que mientras todos los $z_j-z_{j-1}$ tienden a $0$ obtendremos el mismo resultado. Supongo que esta suposición es correcta, pero no he podido encontrar ninguna prueba en Internet.

Y, estoy en la necesidad de entender este supuesto básico para luego demostrar la igualdad:

$\int_Cf(z)dz$ = $f(z(t))z(t)dt$ (de $a$ a $b$ )

Así que si alguien pudiera dirigirme o mostrarme la prueba más clara que conozca sin utilizar esta última igualdad como axioma se lo agradecería de verdad.

Answer 1

El problema con esto último es que implica que mientras todos los $z_j-z_{j-1}$ tienden a $0$ obtendremos el mismo resultado.

Es la malla de la partición la que debe ir a cero. El significado del límite es el siguiente:

A cada $\epsilon > 0$ corresponde un $\delta > 0$ de manera que si $P:a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b$ es una partición de $[a,b]$ con malla inferior a $\delta$ entonces $\lvert\sum_{i = 1}^n f(z_i) \Delta z_i- \int_C f(z)\, dz\rvert < \epsilon.$

Para demostrar $\int_C f(z)\, dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)\, dt$ Utilizaré $\gamma(t)$ en lugar de $z(t)$ . Establecer $M = \max\limits_{a\le t \le b}\lvert \gamma'(t)\rvert$ y que $\epsilon > 0$ . Existe $\delta > 0$ de manera que si $P = \{s_0,\ldots, s_m\}$ es una partición de $[a,b]$ con $\|P\| < \delta$ entonces $\left\lvert \int_C f(z)\, dz - \sum_{i = 1}^m f(\gamma(s_i))\Delta z_i\right\rvert < \epsilon$ . Desde $f\circ \gamma$ es continua en $[a,b]$ es uniformemente continua en $[a,b]$ . Por lo tanto, hay un $\delta' > 0$ tal que para todo $t, t'\in [a,b]$ , $\lvert t - t'\rvert < \delta'$ implica $\lvert f(\gamma(t)) - f(\gamma(t'))\rvert < \frac{\epsilon}{b-a}$ . Sea $n\in \Bbb N$ tal que $\frac{1}{n} < \min\{\delta,\delta'\}$ , y establecer $t_i = a + (b-a)i/n$ para $i = 0,1,\ldots, n$ . Entonces $Q = \{t_0,t_1,\ldots, t_n\}$ es una partición de $[a,b]$ con $\|Q\| = \frac{1}{n} < \delta$ . Por lo tanto, $$\left\lvert \int_C f(z)\, dz - \sum_{i = 1}^n f(\gamma(t_i))\Delta z_i \right\rvert < \epsilon\tag{1}$$ Como $\Delta z_i = \gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t)\, dt$ para cada $i$ ,

\begin{align}\sum_{i = 1}^n f(\gamma(t_i)) \Delta z_i - \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\, dt &= \sum_{i = 1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(\gamma(t_i))\gamma'(t)\, dt - \sum_{i = 1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt\\ &=\sum_{i = 1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i} [f(\gamma(t_i)) - f(\gamma(t))]\gamma'(t)\, dt\tag{2} \end{align}

Desde $\|Q\| < \delta'$ la longitud de cada intervalo $[t_{i-1},t_i]$ es menor que $\delta'$ . Por lo tanto, para los fijos $i$ , $\lvert f(\gamma(t_i)) - f(\gamma(t))\rvert < \frac{\epsilon}{b-a}$ para todos $t\in [t_{i-1},t_i]$ . En consecuencia,

$$\left\lvert \int_{t_{i-1}}^{t_i} [f(\gamma(t_i)) - f(\gamma(t))]\gamma'(t)\, dt\right\rvert < \frac{\epsilon M(t_i-t_{i-1})}{b-a}\quad (i = 1,\ldots, n)$$ Se deduce entonces de $(2)$ y la desigualdad del triángulo que

$$\left\lvert \sum_{i = 1}^n f(\gamma(t_i)) \Delta z_i - \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt\right\rvert < \epsilon M\tag{3}$$

Combinando $(1)$ , $(3)$ y la desigualdad del triángulo,

$$\left\lvert \int_C f(z)\, dz - \int_a^b f(\gamma(t))\gamma' (t)\, dt\right\rvert < \epsilon(1+M)$$ Desde $\epsilon$ era arbitraria,

$$\int_C f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$$

Answer 2

Para definir una integral sobre una curva se requiere una representación paramétrica de la misma. Nada más tiene sentido.

La forma estándar de definir $\int_{\gamma}f(z)dz$ es mediante el uso de una curva continua parametrizada $\gamma : [a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ . Partiendo de una partición aumentada $\mathscr{P}$ que consiste en puntos de división $$ a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_N = b $$ y puntos de aumento $t_j^* \in [t_{j-1},t_{j}]$ se forma la suma de Riemann-Stieltjes $$ \sum_{\mathscr{P}} f(\gamma(t_j^*))\{ \gamma(t_j)-\gamma(t_{j-1})\} $$ La integral se define entonces como $$ \int_{a}^{b}f(\gamma(t))d\gamma(t) = \lim_{\|\mathscr{P}\|\rightarrow 0}\sum_{\mathscr{P}}f(\gamma(t_j^*))\{\gamma(t_{j})-\gamma(t_{j-1})\}, $$ siempre que exista dicho límite. El límite existirá, por ejemplo, si $f(\gamma(t))$ es continua y $\gamma(t)$ es continua y de variación acotada. Y se puede demostrar que el límite es independiente de la parametrización continua de la curva $\gamma$ mientras siga siendo de variación acotada. Más concretamente, si $\rho$ es una función continua no decreciente de $[a,b]$ sobre sí mismo, entonces $$ \int_{a}^{b}f(\gamma(t))d\gamma(t)) = \int_{a}^{b} f(\gamma(\rho(t)))d\gamma(\rho(t)) $$ Si $\gamma$ es continuamente diferenciable en $[a,b]$ entonces $$ \int_{a}^{b}f(\gamma(t))d\gamma(t)) = \int_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt. $$ Más concretamente, si $f$ es una función acotada, entonces la integral de Riemann-Stieltjes de la izquierda existe si la integral de Riemann de la derecha existe y, en ese caso, las dos son iguales. Estos resultados, tomados en conjunto, dan un significado preciso a $\int_{\gamma} fdz$ .