Supongamos que $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros y grado $n\geq2$ y supongamos que $|f(x_i)|$ es primo para al menos $2n+1$ enteros $x_i$ . Demostrar que $f(x)$ es irreducible.
No tengo ni idea.
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
madmax
Puntos
147
Supongamos, por contradicción, que $f$ no es irreducible, y escribirlo como $f = g \cdot h$ . Entonces $\deg(g) + \deg(h) = n$ . Dejemos que $A = \{x : |h(x)| = 1\}$ y $B = \{x : |g(x)| = 1 \}$ . Entonces $|A| \leq 2 \deg(h)$ y $|B| \leq 2 \deg(g)$ y por lo tanto $|A \cup B| \leq 2n$ . Por lo tanto, para cualquier $2n+1$ enteros, al menos uno de ellos no está en $A \cup B$ y para este valor se cumple que $|f(x)| = |g(x)h(x)|$ no primo. Esto contradice la suposición de que hay $2n+1$ enteros $x_i$ tal que $|f(x_i)|$ es primo.
Supongamos que $f(x)=g(x)h(x)$ , donde $g(x),h(x)$ son polinomios de grado $m$ y $k$ respectivamente $\geq1$ con coeficientes enteros y $m+k =n$ . Ahora los polinomios $g(x)+1,g(x)-1,h(x)+1$ y $h(x)-1$ pueden tener a lo sumo $m,m,k,k$ raíces enteras distintas, respectivamente. Por lo tanto, hay a lo sumo $m + m + k + k = 2n$ $x_i$ para los que $|g(x_i)|$ o $|h(x_i)|=1$ . Por lo tanto, si $f(x)$ es reducible, $|f(x)|$ será primordial como máximo para $2n$ enteros $x_i$ .
